Bolme ve Bolunebilme — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Temel Matematik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Bölme Algoritması

Bir tam sayının başka bir tam sayıya bölünmesi temel olarak şu eşitlikle ifade edilir:

Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan

Kısaltmalı gösterimle:

A = B × C + K

Burada: - A = bölünen sayı - B = bölen sayı - C = bölüm (kısmi bölüm) - K = kalan

Önemli kural: Kalan, daima bölenden küçük ve sıfırdan büyük veya ona eşit olmalıdır. Yani:

0 ≤ K < B

Eğer kalan, bölene eşit veya büyük olursa işlem henüz tamamlanmamış demektir; bölüme ekleme yapılarak işleme devam edilir.

Örnek gösterim: 47 sayısı 5'e bölündüğünde: - 47 = 5 × 9 + 2 - Bölünen = 47, Bölen = 5, Bölüm = 9, Kalan = 2 - Kalan (2), bölenden (5) küçük olduğu için işlem doğrudur.

Tam bölünme: Eğer kalan sıfır ise (K = 0), A sayısı B'ye tam bölünür denir. Bu durumda A = B × C olur ve B, A'nın bir bölenidir (çarpanıdır).

2. Bölünebilme Kuralları

Bir sayının başka bir sayıya kalansız (tam) bölünüp bölünmediğini, bölme işlemi yapmadan hızlıca anlamamızı sağlayan kurallardır.

2 ile Bölünebilme

Bir sayının birler basamağı çift ise (0, 2, 4, 6, 8) o sayı 2 ile tam bölünür. Bu sayılara çift sayı denir.

• 138 → birler basamağı 8 → 2 ile bölünür.
• 257 → birler basamağı 7 → 2 ile bölünmez.

3 ile Bölünebilme

Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katı ise (3, 6, 9, 12, ...) o sayı 3 ile tam bölünür.

• 4512 → 4 + 5 + 1 + 2 = 12 → 12, 3'ün katı → 3 ile bölünür.
• 2023 → 2 + 0 + 2 + 3 = 7 → 7, 3'ün katı değil → 3 ile bölünmez.

4 ile Bölünebilme

Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı ise (veya son iki basamak 00 ise) o sayı 4 ile tam bölünür.

• 7316 → son iki basamak 16 → 16, 4'ün katı → 4 ile bölünür.
• 5230 → son iki basamak 30 → 30, 4'ün katı değil → 4 ile bölünmez.

5 ile Bölünebilme

Bir sayının birler basamağı 0 veya 5 ise o sayı 5 ile tam bölünür.

• 3450 → birler basamağı 0 → 5 ile bölünür.
• 1285 → birler basamağı 5 → 5 ile bölünür.
• 1284 → birler basamağı 4 → 5 ile bölünmez.

6 ile Bölünebilme

Bir sayı hem 2 ile hem de 3 ile bölünüyorsa 6 ile de tam bölünür. Yani sayı çift olmalı VE rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.

• 432 → çift (son rakam 2) ve rakam toplamı 4 + 3 + 2 = 9 (3'ün katı) → 6 ile bölünür.
• 123 → tek sayı → 6 ile bölünmez (rakam toplamı 6 olsa bile).

8 ile Bölünebilme

Bir sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'in katı ise (veya son üç basamak 000 ise) o sayı 8 ile tam bölünür.

• 17128 → son üç basamak 128 → 128 = 8 × 16 → 8 ile bölünür.
• 25500 → son üç basamak 500 → 500, 8'in katı değil → 8 ile bölünmez.

9 ile Bölünebilme

Bir sayının rakamları toplamı 9'un katı ise (9, 18, 27, ...) o sayı 9 ile tam bölünür.

• 6381 → 6 + 3 + 8 + 1 = 18 → 18, 9'un katı → 9 ile bölünür.
• 7245 → 7 + 2 + 4 + 5 = 18 → 9 ile bölünür.
• 1234 → 1 + 2 + 3 + 4 = 10 → 9 ile bölünmez.

10 ile Bölünebilme

Bir sayının birler basamağı 0 ise o sayı 10 ile tam bölünür.

• 4520 → birler basamağı 0 → 10 ile bölünür.
• 4525 → birler basamağı 5 → 10 ile bölünmez.

11 ile Bölünebilme

Bir sayının basamak değerleri sağdan başlanarak sırayla (+, -, +, -, ...) işaretlenir. Yani birler basamağından başlayarak sırasıyla rakamlar toplanır ve çıkarılır. Elde edilen sonuç 0 veya 11'in katı ise o sayı 11 ile tam bölünür.

Pratik yöntem: Tek konumdaki rakamların toplamı ile çift konumdaki rakamların toplamı arasındaki fark 0 veya 11'in katı olmalıdır.

• 8514 → (4 + 5) - (1 + 8) = 9 - 9 = 0 → 11 ile bölünür.
• Sağdan: 4 (+), 1 (-), 5 (+), 8 (-) → 4 - 1 + 5 - 8 = 0
• 2728 → 8 - 2 + 7 - 2 = 11 → 11'in katı → 11 ile bölünür.
• 1234 → 4 - 3 + 2 - 1 = 2 → 11 ile bölünmez.

3. Kalan Bulma

Bir sayının bölündüğünde kalanını bulmak için birkaç yöntem kullanılır:

a) Doğrudan bölme: A = B × C + K formülünden K'yı buluruz. - 100 sayısının 7'ye bölümünden kalan: 100 = 7 × 14 + 2 → kalan 2.

b) Modüler aritmetik (kalan toplama/çarpma): Büyük ifadelerde, parçaların kalanlarını ayrı ayrı bulup işlemi kalanlar üzerinde yaparız. - Bir bölme işleminde toplananların kalanları toplanır, sonuç tekrar bölene bölünür. - Çarpanların kalanları çarpılır, sonuç tekrar bölene bölünür.

Örnek: (53 + 68) sayısının 5'e bölümünden kalan? - 53'ün 5'e bölümünden kalan: 3 - 68'in 5'e bölümünden kalan: 3 - Kalanlar toplamı: 3 + 3 = 6 → 6'nın 5'e bölümünden kalan: 1 - Sonuç: 1

4. Ardışık Bölme

Bir sayı önce bir sayıya, çıkan bölüm de başka bir sayıya bölündüğünde ardışık (peş peşe) bölme söz konusudur. Bu tip sorularda asıl bölüneni geriye doğru inşa ederiz.

Mantık: A sayısı önce a'ya bölünüp k1 kalanını, çıkan bölüm b'ye bölünüp k2 kalanını verirse: - İlk bölüm = b × (son bölüm) + k2 - A = a × (ilk bölüm) + k1

Bu sorularda en küçük A değeri çoğunlukla son bölümü 0 alarak (veya verilen bölümle) hesaplanır.

5. Bölen Sayısını Bulma (Pozitif Tam Bölen Sayısı)

Bir sayının kaç tane pozitif tam böleni (çarpanı) olduğunu bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.

Eğer bir N sayısı asal çarpanlarına şöyle ayrılıyorsa:

N = a^x × b^y × c^z

(a, b, c asal sayılar) ise N'nin pozitif tam bölen sayısı:

Bölen Sayısı = (x + 1) × (y + 1) × (z + 1)

Örnek: 360 = 2³ × 3² × 5¹ - Bölen sayısı = (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24 - 360'ın 24 tane pozitif tam böleni vardır.

Önemli Formüller ve Kurallar

Bölünebilme Kuralları Tablosu:

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Bir bölme işleminde bölünen 158, bölen 12'dir. Bölüm ve kalan kaçtır?

Çözüm: - Bölme algoritması: Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan - 158 = 12 × Bölüm + Kalan - 12 × 13 = 156, 12 × 14 = 168 (158'i geçer) - Bölüm = 13, Kalan = 158 - 156 = 2 - Kalan (2), bölenden (12) küçük olduğu için doğrudur.

Sonuç: Bölüm = 13, Kalan = 2

Örnek 2:

Bir sayının 9'a bölümünden bölüm 24, kalan 7 olduğuna göre bu sayı kaçtır?

Çözüm: - Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan - Bölünen = 9 × 24 + 7 - Bölünen = 216 + 7 = 223 - Kontrol: Kalan (7) < Bölen (9) → doğru.

Sonuç: Sayı 223'tür.

Örnek 3:

72A4 dört basamaklı sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre, A yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?

Çözüm: - 3 ile bölünme: rakamları toplamı 3'ün katı olmalı. - 7 + 2 + A + 4 = 13 + A - 13 + A'nın 3'ün katı olması için: A = 2 (15), A = 5 (18), A = 8 (21) - Uygun değerler: 2, 5, 8 - Toplam: 2 + 5 + 8 = 15

Sonuç: 15

Örnek 4:

51A2 dört basamaklı sayısı 4 ile tam bölünebildiğine göre, A kaç farklı değer alabilir?

Çözüm: - 4 ile bölünme: son iki basamak (A2) sayısı 4'ün katı olmalı. - A2 biçimindeki sayılar: 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 02 - Bunlardan 4'ün katı olanlar: 12, 32, 52, 72, 92, 02 - 12 = 4×3, 32 = 4×8, 52 = 4×13, 72 = 4×18, 92 = 4×23, 02 = 0 (4×0)... 02 yani 2, 4'ün katı değil. Tekrar kontrol: birler basamağı 2 olan ve 4'e bölünenler "yarım onlar" kuralıyla onlar basamağı tek olmalı. - 12, 32, 52, 72, 92 → 4'e bölünür (onlar basamağı tek) - A değerleri: 1, 3, 5, 7, 9 → 5 farklı değer.

Sonuç: A, 5 farklı değer alabilir.

Örnek 5:

13A5B beş basamaklı sayısı hem 5 hem 9 ile tam bölünmektedir. Buna göre A + B toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözüm: - 5 ile bölünme: B = 0 veya B = 5. - 9 ile bölünme: rakam toplamı 9'un katı olmalı: 1 + 3 + A + 5 + B = 9 + A + B - 9 + A + B → 9'un katı → A + B = 9 veya A + B = 18 (en fazla 9+9=18, ama B en fazla 5) - B = 5 için: A + 5 ≤ 9 + (A en fazla 9) → A + B'nin 9 ya da 18 olması - A + B = 18 ise A = 13 olur (imkânsız, A tek rakam) - A + B = 9 ise B = 5, A = 4 → A + B = 9 - B = 0 için: A + B = 9 ise A = 9 → A + B = 9 - Her durumda en büyük A + B değeri 9'dur.

Sonuç: A + B en fazla 9 olabilir.

Örnek 6:

(47 × 38) çarpımının 5'e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: - Modüler yaklaşım: çarpanların kalanları çarpılır. - 47'nin 5'e bölümünden kalan: 2 (47 = 5×9 + 2) - 38'in 5'e bölümünden kalan: 3 (38 = 5×7 + 3) - Kalanlar çarpımı: 2 × 3 = 6 - 6'nın 5'e bölümünden kalan: 1

Sonuç: Kalan 1'dir.

Örnek 7:

Bir sayı 7 ile bölündüğünde 4 kalanını, çıkan bölüm 5 ile bölündüğünde 2 kalanını vermektedir. Bu koşulları sağlayan en küçük doğal sayı kaçtır?

Çözüm: - Ardışık bölme: geriye doğru gidelim. - İlk bölüm = 5 × (son bölüm) + 2. En küçük için son bölüm = 0 alalım: İlk bölüm = 5 × 0 + 2 = 2 - Sayı = 7 × (ilk bölüm) + 4 = 7 × 2 + 4 = 14 + 4 = 18 - Kontrol: 18 ÷ 7 = 2 kalan 4 ✓, bölüm 2 ÷ 5 = 0 kalan 2 ✓

Sonuç: En küçük sayı 18'dir.

Örnek 8:

540 sayısının kaç tane pozitif tam böleni vardır?

Çözüm: - Asal çarpanlara ayıralım: - 540 = 2 × 270 = 2 × 2 × 135 = 4 × 135 - 135 = 27 × 5 = 3³ × 5 - 540 = 2² × 3³ × 5¹ - Bölen sayısı = (2 + 1) × (3 + 1) × (1 + 1) = 3 × 4 × 2 = 24

Sonuç: 540'ın 24 tane pozitif tam böleni vardır.

Örnek 9:

A571B beş basamaklı sayısı 11 ile tam bölünmektedir. A ve B birer rakam ve A + B = 10 olduğuna göre, A kaçtır?

Çözüm: - 11 ile bölünme: sağdan +,-,+,-,+ → B - 1 + 7 - 5 + A - = B - 1 + 7 - 5 + A = A + B + 1 - A + B = 10 olduğundan: 10 + 1 = 11 → 11'in katı ✓ (zaten sağlanıyor) - Bu durumda A + B = 10 koşulunu sağlayan ve A, B'nin rakam olduğu tüm değerler 11 ile bölünür. - Soruda tek değer isteniyorsa ek koşul gerekir; A + B = 10 ve A ≠ 0 (baş rakam) olmak üzere A, 1 ile 9 arasında olabilir. En küçük A için A = 1, B = 9.

Sonuç: A + B = 10 olan her durum 11 ile bölünür; örnek olarak A = 1, B = 9.