Koklu Sayilar — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Temel Matematik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Kök Kavramı

Bir sayının n. dereceden kökü, n. kuvveti o sayıya eşit olan değerdir.

ⁿ√a ifadesinde: - n: kök derecesi (indeks). Yazılmazsa 2 (karekök) kabul edilir. - a: kök içindeki sayı (radikant).

Tanım: ⁿ√a = b ⟺ bⁿ = a

Örnekler: - √25 = 5, çünkü 5² = 25 - ³√27 = 3, çünkü 3³ = 27 - ⁴√16 = 2, çünkü 2⁴ = 16

Önemli: Çift dereceli köklerde (karekök, 4. kök...) kök içindeki sayı negatif olamaz (gerçek sayılarda). Yani √(-4) gerçek sayılarda tanımsızdır. Ancak tek dereceli köklerde (küpkök, 5. kök...) negatif sayıların kökü alınabilir: ³√(-8) = -2.

Karekökün sonucu daima negatif değildir: √(a²) = |a| (mutlak değer). Örneğin √((-3)²) = √9 = 3.

2. Köklü İfadelerin Özellikleri ve Kuralları

Aşağıdaki kurallarda a ≥ 0 ve b ≥ 0 (çift dereceli kökler için) kabul edilir.

Çarpım kuralı: ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a·b)

Bölüm kuralı: ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b) (b ≠ 0)

Kökün kuvveti: (ⁿ√a)^m = ⁿ√(aᵐ)

İç içe kök (kökün kökü): ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐ·ⁿ√a

Kök ve üs sadeleşmesi: ⁿ√(aⁿ) = a (a ≥ 0 ise)

3. Kök İçini Sadeleştirme

Kök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırarak, tam kuvvet olan çarpanları kök dışına çıkarırız.

Genel mantık: √(k²·a) = k·√a

Adımlar: 1. Kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayır. 2. Kök derecesine göre gruplandır (karekökte çift, küpkökte üçlü gruplar). 3. Tam grupları kök dışına çıkar.

Örnek: √72 = √(36·2) = √36 · √2 = 6√2

Tersine, dışarıdaki sayıyı içeri almak için: k√a = √(k²·a) Örnek: 3√2 = √(9·2) = √18

4. Köklü Sayılarda Dört İşlem

Toplama ve Çıkarma: Yalnızca benzer köklü terimler (kök içi ve kök derecesi aynı olanlar) toplanıp çıkarılabilir. Kök dışındaki katsayılar toplanır/çıkarılır, kök aynen kalır.

a√c + b√c = (a + b)√c

Örnek: 5√3 + 2√3 = 7√3 Dikkat: √2 + √3 birleştirilemez (benzer değiller).

İşlemden önce mutlaka sadeleştirme yapılmalıdır: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2

Çarpma ve Bölme: Katsayılar kendi aralarında, kök içleri kendi aralarında işleme girer.

(a√x)·(b√y) = (a·b)√(x·y) (a√x)/(b√y) = (a/b)·√(x/y)

Örnek: 2√3 · 4√6 = 8√18 = 8·3√2 = 24√2

5. Paydayı Rasyonel Yapma (Eşleniği ile)

Paydada kök bulunan ifadelerde, paydayı kökten kurtarmaya paydayı rasyonelleştirme denir.

Durum 1 — Payda tek terimli kök: Pay ve paydayı aynı kökle çarparız.

a / √b = (a·√b) / (√b·√b) = (a·√b) / b

Örnek: 6 / √2 = (6√2) / 2 = 3√2

Durum 2 — Payda iki terimli (eşlenik kullanımı): a + √b ifadesinin eşleniği a − √b'dir. Çünkü (a+√b)(a−√b) = a² − b olur ve kök kaybolur.

Genel: paydanın eşleniği ile pay ve payda çarpılır.

Örnek: 1 / (√5 − √2)'de eşlenik (√5 + √2):

1/(√5−√2) = (√5+√2) / [(√5−√2)(√5+√2)] = (√5+√2)/(5−2) = (√5+√2)/3

6. Köklü İfadelerde Sıralama

İki köklü ifadeyi karşılaştırmak için yaygın yöntemler:

Yöntem 1 — Aynı köke getirme: Kök dereceleri aynıysa kök içlerini karşılaştırırız. Kök içi büyük olan büyüktür. √7 ile √5 → 7 > 5 olduğundan √7 > √5

Yöntem 2 — Katsayıları içeri alma: Karşılaştırılacak ifadeleri tek kök altında toplarız. 2√3 ile 3√2 → 2√3 = √12, 3√2 = √18 → √18 > √12 olduğundan 3√2 > 2√3

Yöntem 3 — Farklı dereceli kökleri eşitleme: Kök derecelerinin EKOK'unu alıp aynı dereceye getiririz. √2 (derece 2) ile ³√3 (derece 3) → EKOK(2,3)=6 √2 = ⁶√(2³) = ⁶√8, ³√3 = ⁶√(3²) = ⁶√9 → ⁶√9 > ⁶√8 olduğundan ³√3 > √2

7. Üslü–Köklü Dönüşümü

Köklü ifadeler kesirli üs ile yazılabilir. Bu, işlemleri çok kolaylaştırır.

Temel kural: ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)

Özel hâl: ⁿ√a = a^(1/n)

Örnekler: - √a = a^(1/2) - ³√a = a^(1/3) - ³√(a²) = a^(2/3) - a^(3/4) = ⁴√(a³)

Bu dönüşüm sayesinde üslü sayı kuralları (taban aynıysa üsler toplanır vb.) köklü ifadelere de uygulanabilir.

Önemli Formüller ve Kurallar

Toplama/Çıkarma: Sadece benzer kökler birleştirilir → a√c ± b√c = (a±b)√c Çarpma/Bölme: Katsayılar ayrı, kök içleri ayrı işleme girer.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Kök içini sadeleştirme

√180 ifadesini en sade biçimde yazınız.

Çözüm: 1. 180'i çarpanlarına ayıralım: 180 = 36 · 5 2. √180 = √(36·5) = √36 · √5 3. √36 = 6 olduğundan: √180 = 6√5

Sonuç: 6√5

Örnek 2: Köklü sayılarda toplama

√50 + √32 − √8 işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: 1. Her terimi sadeleştirelim: - √50 = √(25·2) = 5√2 - √32 = √(16·2) = 4√2 - √8 = √(4·2) = 2√2 2. Benzer kökleri birleştirelim: 5√2 + 4√2 − 2√2 = (5+4−2)√2 3. = 7√2

Sonuç: 7√2

Örnek 3: Köklü sayılarda çarpma

2√6 · 3√10 işleminin sonucunu sade biçimde yazınız.

Çözüm: 1. Katsayılar ve kök içleri ayrı çarpılır: (2·3)·√(6·10) = 6√60 2. 60 = 4 · 15 olduğundan: 6√60 = 6·√4·√15 = 6·2·√15 = 12√15

Sonuç: 12√15

Örnek 4: Paydayı rasyonel yapma (tek terim)

12 / √6 ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Çözüm: 1. Pay ve paydayı √6 ile çarpalım: 12/√6 = (12·√6) / (√6·√6) = 12√6 / 6 2. Sadeleştirelim: 12/6 = 2 → 2√6

Sonuç: 2√6

Örnek 5: Eşlenik ile rasyonel yapma

10 / (√7 + √2) ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Çözüm: 1. Paydanın eşleniği (√7 − √2) ile pay ve paydayı çarpalım: 10/(√7+√2) = 10(√7−√2) / [(√7+√2)(√7−√2)] 2. Payda: (√7)² − (√2)² = 7 − 2 = 5 3. = 10(√7−√2) / 5 = 2(√7−√2)

Sonuç: 2(√7 − √2) = 2√7 − 2√2

Örnek 6: Köklü ifadelerde sıralama

3√2, 2√5 ve 4 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: 1. Hepsini tek kök altına alalım: - 3√2 = √(9·2) = √18 - 2√5 = √(4·5) = √20 - 4 = √16 2. Kök içlerini karşılaştıralım: 16 < 18 < 20 3. Demek ki: √16 < √18 < √20 → 4 < 3√2 < 2√5

Sonuç: 4 < 3√2 < 2√5

Örnek 7: Üslü–köklü dönüşümü

³√(a²) · ⁶√a ifadesini tek üs olarak yazınız (a > 0).

Çözüm: 1. Köklü ifadeleri üslü biçime çevirelim: - ³√(a²) = a^(2/3) - ⁶√a = a^(1/6) 2. Aynı tabanda üsleri toplayalım: a^(2/3) · a^(1/6) = a^(2/3 + 1/6) 3. Üsleri toplayalım: 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6 4. = a^(5/6) = ⁶√(a⁵)

Sonuç: a^(5/6) = ⁶√(a⁵)

Örnek 8: İç içe kök (kökün kökü)

√(√256) ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm: 1. İçten dışa çözelim. Önce √256: √256 = 16 (çünkü 16² = 256) 2. Şimdi √16 = 4 3. Alternatif olarak kuralla: √(√256) = ⁴√256 = ⁴√(4⁴) = 4

Sonuç: 4

Örnek 9: Karma işlem ve sadeleştirme

(√48 − √12) / √3 işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: 1. Payı sadeleştirelim: - √48 = √(16·3) = 4√3 - √12 = √(4·3) = 2√3 - Pay = 4√3 − 2√3 = 2√3 2. Bölme: (2√3) / √3 = 2 · (√3/√3) = 2 · 1 = 2

Sonuç: 2

Örnek 10: Mutlak değerli kök

√((−5)²) + √(3²) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: 1. √(a²) = |a| kuralını uygulayalım: - √((−5)²) = |−5| = 5 - √(3²) = |3| = 3 2. Toplayalım: 5 + 3 = 8

Sonuç: 8 (Dikkat: √((−5)²) = −5 demek hatalıdır!)