Kesir Problemleri — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Problemler · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Bir Bütünün Kesri

Bir bütün her zaman 1 (yani b/b) olarak kabul edilir. Bütünün a/b kadarı demek, bütünü b eşit parçaya bölüp bunlardan a tanesini almak demektir.

Örneğin bir miktar paranın 3/5'i alınıyorsa, paranın tamamına x dersek, alınan miktar:

(3/5) · x

olarak yazılır. Geriye kalan kısım ise:

x − (3/5)·x = (2/5)·x

Buradaki temel kural: Bütün = Alınan + Kalan her zaman 1'e (yani x'in tamamına) eşittir.

"Kalanın Kesri" Tipi Problemler

Bu, kesir problemlerinin en kritik ve en çok hata yapılan tipidir. Burada ikinci (ve sonraki) kesir, başlangıçtaki bütüne göre değil, bir önceki işlemden geriye kalan miktara göre alınır.

Örnek mantık: Bir kişi parasının önce 1/3'ünü, kalanın ardından 1/4'ünü harcasın.

• Başlangıç: x
• İlk harcama: (1/3)·x → Kalan: x − (1/3)·x = (2/3)·x
• İkinci harcama: kalanın 1/4'ü = (1/4)·(2/3)·x = (1/6)·x → Kalan: (2/3)·x − (1/6)·x = (1/2)·x

DİKKAT: İkinci harcama (1/4)·x değildir; çünkü "kalanın 1/4'ü" denmiştir. "Kalan" kelimesi geçtiğinde mutlaka bir önceki adımdaki kalan miktar baz alınır.

Kalanın Kesrini Doğrudan Hesaplama (Çarpım Yöntemi)

Ardışık "kalanın kesri" tipinde, geriye kalan oranlar çarpılarak son kalan tek adımda bulunabilir.

Bir adımda a/b'si harcanırsa geriye (1 − a/b) oranı kalır. Birden fazla ardışık harcamada kalan oranlar çarpılır:

Son Kalan Oranı = (1 − birinci) · (1 − ikinci) · (1 − üçüncü) ...

Örnek: Önce 1/3'ü, kalanın 1/4'ü, onun da kalanının 1/2'si harcanırsa:

Kalan oran = (2/3) · (3/4) · (1/2) = 1/4

Yani başlangıç miktarının yalnızca 1/4'ü kalır.

Ardışık Harcama Problemleri

Para, su, yiyecek gibi miktarların birden fazla aşamada azaldığı problemlerdir. Her aşamada ya bütüne göre ya da kalana göre bir kesir kullanılır. Soruyu dikkatle okuyup her adımda hangi miktarın baz alındığını belirlemek gerekir:

• "Parasının 1/5'ini" → her zaman başlangıç bütünü baz alınır.
• "Kalanın 1/5'ini" → bir önceki kalan baz alınır.

Kesirli Denklem Kurulumu

Problemde verilen sözel ifadeyi denkleme çevirmenin adımları:

1. Bilinmeyene (genellikle bütüne) bir harf ver: x.
2. Her ifadeyi x cinsinden yaz (alınan, kalan, eklenen miktarlar).
3. Soruda verilen sayısal eşitliği (ör. "geriye 120 TL kaldı") denklem olarak kur.
4. x'i çöz, ardından sorulan değeri hesapla.

Örnek: Parasının 2/5'ini harcayan birinin geriye 90 TL'si kalıyorsa:

(3/5)·x = 90 → x = 150

Geri Sayım / Tersten Çözüm Yöntemi

ALES'te ardışık harcama problemlerinin en hızlı çözüm yolu tersten gitmektir. Sonda kalan bilinen miktardan başlayıp her adımı geriye doğru "açarak" başlangıcı buluruz.

Mantık: Eğer bir adımda elindekinin a/b'si harcandıysa, geriye (1 − a/b) oranı kalır. O hâlde:

Önceki Miktar = Sonraki Miktar / (kalan oran)

Bu yöntem, özellikle "harcadıktan sonra X kaldı, başlangıçta ne kadardı?" sorularında ileri denklem kurmaktan çok daha pratiktir.

Önemli Formüller ve Kurallar

• Bütün = 1 (b/b). Bütünün a/b'si alınırsa kalan (1 − a/b) = (b−a)/b.
• Bütün = Alınan + Kalan (her zaman bütüne eşittir).
• Bir miktarın a/b'si: (a/b)·x.
• "Kalanın c/d'si": (c/d) · (önceki kalan).
• Ardışık kalan oranı: (1 − k₁)·(1 − k₂)·(1 − k₃) ... → tek adımda son kalan oranını verir.
• Tersten çözüm: Önceki Miktar = Sonraki Miktar / (1 − harcanan kesir).
• Bir miktarın a/b'si A ise, bütün = A · (b/a).
• Kesirleri toplarken/çıkarırken paydalar eşitlenir; "kalanın kesri" tipinde önce kalan bulunur, sonra kesir uygulanır.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Temel Bütünün Kesri

Bir öğrenci, parasının 3/7'sini kitaplara harcadıktan sonra geriye 240 TL kalmıştır. Öğrencinin başlangıçtaki parası kaç TL'dir?

Çözüm: - Başlangıç parası x olsun. - Harcanan: (3/7)·x, Kalan: x − (3/7)·x = (4/7)·x. - Kalan 240 TL olduğundan: (4/7)·x = 240 - x = 240 · (7/4) = 420

Sonuç: 420 TL

Örnek 2: Kalanın Kesri (Klasik Tip)

Bir kişi parasının önce 1/4'ünü, sonra kalanının 2/3'ünü harcamıştır. Geriye 150 TL kaldığına göre başlangıçtaki parası kaç TL'dir?

Çözüm: - Başlangıç x olsun. - İlk harcama: (1/4)·x → Kalan: (3/4)·x. - İkinci harcama, kalanın 2/3'ü: (2/3)·(3/4)·x = (1/2)·x. - Kalan: (3/4)·x − (1/2)·x = (1/4)·x. - (1/4)·x = 150 → x = 600

Sonuç: 600 TL

Örnek 3: Kalan Oranlarını Çarpma Yöntemi

Bir depodaki suyun önce 1/3'ü, sonra kalanın 1/4'ü, en son kalanın 1/2'si kullanılmıştır. Başlangıçta depoda 240 litre su olduğuna göre geriye kaç litre su kalmıştır?

Çözüm: - Her adımdaki kalan oranları çarpalım: - Kalan oran = (1 − 1/3)·(1 − 1/4)·(1 − 1/2) = (2/3)·(3/4)·(1/2) - = (2·3·1)/(3·4·2) = 6/24 = 1/4 - Kalan su = 240 · (1/4) = 60

Sonuç: 60 litre

Örnek 4: Tersten Çözüm (Geri Sayım)

Bir yolcu, parasının 1/2'sini birinci durakta, kalanın 1/3'ünü ikinci durakta harcamıştır. İkinci duraktan sonra elinde 80 TL kaldığına göre başlangıçtaki parası kaç TL'dir?

Çözüm (tersten): - İkinci durakta kalanın 1/3'ü harcanmış, yani (2/3)'ü kalmış. - İkinci duraktan önceki para: 80 / (2/3) = 80 · (3/2) = 120 TL. - Birinci durakta 1/2'si harcanmış, yani (1/2)'si kalmış. - Başlangıç parası: 120 / (1/2) = 120 · 2 = 240 TL.

Sonuç: 240 TL

Örnek 5: Verilen Kesrin Bütünü

Bir çiftçi, bahçesindeki ağaçların 2/9'unu söktükten sonra geriye 105 ağaç kaldığını görmüştür. Bahçede başlangıçta kaç ağaç vardı?

Çözüm: - Sökülen 2/9 ise kalan oran (1 − 2/9) = 7/9. - (7/9)·x = 105 → x = 105 · (9/7) = 135

Sonuç: 135 ağaç

Örnek 6: Üç Aşamalı Ardışık Harcama

Bir kişi parasının 2/5'ini yiyeceğe, kalanın 1/2'sini giyime, son kalanın 1/3'ünü ulaşıma harcamış ve geriye 200 TL'si kalmıştır. Başlangıçtaki parası kaç TL'dir?

Çözüm: - Kalan oran = (1 − 2/5)·(1 − 1/2)·(1 − 1/3) - = (3/5)·(1/2)·(2/3) = (3·1·2)/(5·2·3) = 6/30 = 1/5 - (1/5)·x = 200 → x = 1000

Sonuç: 1000 TL

Örnek 7: Kesir + Sayısal Karışık

Bir kişi parasının 1/3'ünü harcamış, sonra 50 TL daha harcamış ve geriye 150 TL'si kalmıştır. Başlangıçtaki parası kaç TL'dir?

Çözüm: - Başlangıç x olsun. - İlk harcamadan sonra kalan: (2/3)·x. - 50 TL daha harcanınca: (2/3)·x − 50 = 150 - (2/3)·x = 200 → x = 200 · (3/2) = 300

Sonuç: 300 TL

Örnek 8: İki Kişi Arasında Kesirli Paylaşım

Ali ile Veli'nin toplam parası 480 TL'dir. Ali'nin parasının 1/3'ü, Veli'nin parasının 1/5'ine eşittir. Ali'nin parası kaç TL'dir?

Çözüm: - Ali = a, Veli = v olsun. a + v = 480. - (1/3)·a = (1/5)·v → 5a = 3v → v = (5/3)·a. - a + (5/3)·a = 480 → (8/3)·a = 480 → a = 480 · (3/8) = 180.

Sonuç: Ali'nin parası 180 TL (Veli'nin parası 300 TL)

Örnek 9: Tersten Çözüm – Çok Aşamalı

Bir su bidonundan önce içindekinin 1/4'ü, sonra kalanın 2/5'i, en son kalanın 1/3'ü boşaltılmıştır. Geriye 18 litre su kaldığına göre bidonda başlangıçta kaç litre su vardı?

Çözüm (tersten): - Son adımda 1/3 boşaltılmış, 2/3'ü kalmış: önceki = 18 / (2/3) = 27 litre. - Bir önceki adımda 2/5 boşaltılmış, 3/5'i kalmış: önceki = 27 / (3/5) = 27 · (5/3) = 45 litre. - İlk adımda 1/4 boşaltılmış, 3/4'ü kalmış: başlangıç = 45 / (3/4) = 45 · (4/3) = 60 litre.

Sonuç: 60 litre