Isci Havuz Problemleri — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Problemler · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Birim İş (Birim Zamanda Yapılan İş) Mantığı

İş problemlerinin temel taşı şudur: Bir işi bir kişi/musluk bir birim zamanda ne kadar yapıyor?

Bir işçi bir işi n günde bitiriyorsa, bu işçi bir günde işin 1/n'ini yapar.

Örnek olarak: - Bir işi 6 günde bitiren bir işçi, bir günde işin 1/6'sını yapar. - Bir musluk bir havuzu 4 saatte dolduruyorsa, bir saatte havuzun 1/4'ünü doldurur.

Burada bütün iş = 1 (tam, yani %100) kabul edilir. Tüm hesapları bu "1 bütün" üzerinden yaparız.

Anahtar cümle: "n günde biten iş" → "günlük hız = 1/n".

2. Birlikte Çalışma (Aynı İşi Birlikte Yapma)

Birden fazla işçi aynı anda çalışırsa, hızları toplanır. Çünkü her biri kendi payını aynı zaman diliminde yapar.

A işçisi işi a günde, B işçisi b günde bitiriyorsa: - A'nın günlük hızı = 1/a - B'nin günlük hızı = 1/b - Birlikte günlük hız = 1/a + 1/b

Birlikte işi bitirme süresi, hızın tersi olduğundan:

Birlikte süre = 1 / (1/a + 1/b) = (a · b) / (a + b)

Bu (a·b)/(a+b) formülü iki işçi için pratik kısayoldur. İkiden fazla işçide her zaman hızları toplama yöntemini kullanın.

3. Musluk / Havuz Doldurma ve Boşaltma

Havuz problemleri işçi problemleriyle birebir aynı mantığa sahiptir. Tek fark: bazı musluklar doldurur (+), bazıları boşaltır (−).

• Dolduran musluk: hızı artı yazılır (+1/n).
• Boşaltan (giden) musluk: hızı eksi yazılır (−1/n).

İkisi birlikte açıksa: net hız = dolduranların toplamı − boşaltanların toplamı.

Net hız pozitifse havuz dolar, negatifse boşalır (ya da hiç dolmaz).

4. İşçi Sayısı – Süre Ters Orantısı

İşin miktarı sabitken, işçi sayısı arttıkça süre azalır. Bu bir ters orantıdır.

İşçi sayısı × Süre = Sabit (toplam iş gücü)

Yani:

İşçi₁ × Süre₁ = İşçi₂ × Süre₂

Daha genel hali (işçi sayısı, çalışma günü, günlük çalışma saati ve yapılan iş miktarı bir aradayken):

(İşçi × Gün × Saat) / İş = Sabit

Bu büyük formül, "şu kadar işçi şu kadar günde şu kadar iş yapıyorsa, bu kadar işçi kaç günde ne kadar iş yapar?" tipi soruların tamamını çözer.

5. Eksik / Fazla Çalışma

Bir işçi işin başında çalışıp sonra ayrılırsa veya işe sonradan katılırsa, o işçinin yaptığı kısmı ayrıca hesaplarız:

Yapılan iş = Günlük hız × Çalışılan gün sayısı

Bütün işten (1'den) yapılanları çıkararak kalan işi buluruz. Bu yaklaşımla "A önce 2 gün tek çalıştı, sonra B katıldı" gibi karışık senaryolar adım adım çözülür.

Önemli Formüller ve Kurallar

Altın kurallar: 1. Bütün iş = 1 kabul edilir. 2. Süre değil, HIZ toplanır. En sık hata, süreleri toplamaktır. 3. Boşaltan musluk hızı eksi (−) işaretlidir. 4. İşçi sayısı ile süre ters, iş miktarı ile süre doğru orantılıdır. 5. Sonucu bulurken hızın tersini almayı unutmayın: süre = 1 / net hız.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Tek işçinin günlük hızı

Bir işçi bir işi 12 günde bitirebilmektedir. Bu işçi 5 günde işin ne kadarını yapar?

Çözüm: - Günlük hız = 1/12. - 5 günde yapılan iş = 5 × (1/12) = 5/12.

Sonuç: İşçi 5 günde işin 5/12'sini yapar.

Örnek 2: İki işçinin birlikte çalışması (formülle)

Bir işi A işçisi 6 günde, B işçisi 12 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte çalışırsa işi kaç günde bitirirler?

Çözüm: - Yöntem 1 (hız toplama): Birlikte günlük hız = 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4. - Süre = hızın tersi = 4 gün. - Yöntem 2 (kısayol): (a·b)/(a+b) = (6·12)/(6+12) = 72/18 = 4 gün.

Sonuç: İkisi birlikte işi 4 günde bitirir. (İki yöntem de aynı sonucu verir.)

Örnek 3: Üç işçi birlikte

Bir işi Ali 10 günde, Veli 15 günde, Can 30 günde bitirebiliyor. Üçü birlikte çalışırsa iş kaç günde biter?

Çözüm: - Birlikte günlük hız = 1/10 + 1/15 + 1/30. - Paydaları 30'da eşitleyelim: 3/30 + 2/30 + 1/30 = 6/30 = 1/5. - Süre = 1 / (1/5) = 5 gün.

Sonuç: Üçü birlikte işi 5 günde bitirir.

(Not: İkiden fazla işçide (a·b)/(a+b) kısayolu doğrudan kullanılamaz; hız toplamak gerekir.)

Örnek 4: Birinin süresini bulma

Bir havuzu A musluğu tek başına 8 saatte dolduruyor. A ve B muslukları birlikte açılırsa havuz 6 saatte doluyor. B musluğu tek başına havuzu kaç saatte doldurur?

Çözüm: - Birlikte hız = 1/6. A'nın hızı = 1/8. - B'nin hızı = Birlikte hız − A'nın hızı = 1/6 − 1/8. - Paydaları 24'te eşitle: 4/24 − 3/24 = 1/24. - B'nin süresi = hızın tersi = 24 saat.

Sonuç: B musluğu havuzu tek başına 24 saatte doldurur.

Örnek 5: Doldurma ve boşaltma (net hız)

Bir havuzu dolduran A musluğu havuzu 4 saatte dolduruyor. Havuzu boşaltan B musluğu ise dolu havuzu 6 saatte boşaltıyor. Boş havuzda her iki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Çözüm: - A doldurur: +1/4. B boşaltır: −1/6. - Net hız = 1/4 − 1/6. Payda 12: 3/12 − 2/12 = 1/12. - Net hız pozitif olduğundan havuz dolar. - Süre = 1 / (1/12) = 12 saat.

Sonuç: Havuz 12 saatte dolar.

Örnek 6: İşçi sayısı – süre ters orantısı

15 işçi bir işi 24 günde bitiriyor. Aynı işi 18 günde bitirmek için kaç işçi gereklidir?

Çözüm: - İş sabit, ters orantı: İşçi₁ × Süre₁ = İşçi₂ × Süre₂. - 15 × 24 = İşçi₂ × 18. - 360 = 18 × İşçi₂ → İşçi₂ = 360 / 18 = 20.

Sonuç: İşi 18 günde bitirmek için 20 işçi gereklidir. (5 işçi daha eklenmelidir.)

Örnek 7: Eksik / fazla çalışma

Bir işi A işçisi tek başına 10 günde bitiriyor. A işe başlıyor ve 4 gün tek başına çalışıyor, sonra işi bırakıyor. Kalan işi günde 1/15 hızla çalışan B işçisi tamamlıyor. B kaç gün çalışmıştır?

Çözüm: - A'nın günlük hızı = 1/10. A'nın 4 günde yaptığı iş = 4 × (1/10) = 4/10 = 2/5. - Kalan iş = 1 − 2/5 = 3/5. - B'nin günlük hızı = 1/15. B'nin süresi = kalan iş / hız = (3/5) ÷ (1/15). - = (3/5) × 15 = 45/5 = 9 gün.

Sonuç: B işçisi 9 gün çalışmıştır.

Örnek 8: Genel iş formülü (işçi-gün-iş)

8 işçi, günde 6 saat çalışarak bir işi 10 günde bitiriyor. 12 işçi günde 8 saat çalışırsa aynı işi kaç günde bitirir?

Çözüm: - İş sabit olduğundan: (İşçi × Gün × Saat) sabittir. - 8 × 10 × 6 = 12 × Gün × 8. - 480 = 96 × Gün → Gün = 480 / 96 = 5 gün.

Sonuç: 12 işçi günde 8 saat çalışarak işi 5 günde bitirir.

Örnek 9: Karışık (birlikte başlama, biri ayrılma)

Bir işi A 12 günde, B 6 günde bitiriyor. İkisi birlikte 2 gün çalışıyor, sonra A işi bırakıyor. Kalan işi B tek başına kaç günde bitirir?

Çözüm: - A'nın hızı = 1/12, B'nin hızı = 1/6. Birlikte hız = 1/12 + 1/6 = 1/12 + 2/12 = 3/12 = 1/4. - 2 günde birlikte yapılan iş = 2 × (1/4) = 1/2. - Kalan iş = 1 − 1/2 = 1/2. - B tek başına: süre = (1/2) ÷ (1/6) = (1/2) × 6 = 3 gün.

Sonuç: B kalan işi 3 günde bitirir.

Örnek 10: Üç musluk, biri boşaltan

Bir havuzu A musluğu 3 saatte, B musluğu 6 saatte dolduruyor; C musluğu ise dolu havuzu 4 saatte boşaltıyor. Üç musluk birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?

Çözüm: - A: +1/3, B: +1/6, C: −1/4. - Net hız = 1/3 + 1/6 − 1/4. Payda 12: 4/12 + 2/12 − 3/12 = 3/12 = 1/4. - Süre = 1 / (1/4) = 4 saat.

Sonuç: Havuz 4 saatte dolar.