Oran Oranti — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Problemler · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Oran Kavramı

Oran, aynı türden (aynı birimden) iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır. a ve b çoklukları için oran a/b veya a:b biçiminde gösterilir ("a'nın b'ye oranı" diye okunur).

Önemli özellikler: - Oran bir bölme işlemi olduğu için birimsizdir (boyutsuzdur). Örneğin 6 elmanın 3 elmaya oranı 6/3 = 2'dir, sonuç birimsizdir. - Oranı oluşturan çokluklar aynı birimden olmalıdır. 2 saat ile 30 dakikayı karşılaştırırken önce ikisini de dakikaya çevirmeliyiz: 120 dk / 30 dk = 4. - Oran, payı ve paydası aynı sayıyla çarpılıp bölünerek sadeleştirilebilir: 12/18 = 2/3.

İki çokluğun toplamı biliniyorsa ve oranları a:b ise, çoklukları a·k ve b·k şeklinde yazmak çözümü çok kolaylaştırır. Buradaki k ortak çarpana orantı sabiti denir.

Orantı

İki oranın birbirine eşitliğine orantı denir.

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Burada a ve d dışlar (dış terimler), b ve c içler (iç terimler) olarak adlandırılır. Orantının temel kuralı:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad a \cdot d = b \cdot c$$

Yani içler çarpımı, dışlar çarpımına eşittir (çapraz çarpım kuralı).

Doğru Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa (ya da biri azalırken diğeri aynı oranda azalıyorsa), bu çokluklar doğru orantılıdır.

x ve y doğru orantılı ise, oranları her zaman sabittir:

$$\frac{x}{y} = k \quad (\text{sabit})$$

Bu k sayısına orantı sabiti denir.

Örnek mantık: Bir kalemin fiyatı sabitse, alınan kalem sayısı arttıkça ödenen para da aynı oranda artar. 1 kalem 5 TL ise, 3 kalem 15 TL'dir. Burada para / kalem sayısı = 5 sabittir.

Grafikte doğru orantı, orijinden geçen bir doğru ile gösterilir.

Ters Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa (biri 2 katına çıkarken diğeri yarıya iniyorsa), bu çokluklar ters orantılıdır.

x ve y ters orantılı ise, çarpımları sabittir:

$$x \cdot y = k \quad (\text{sabit})$$

Örnek mantık: Belli bir işi yapan işçi sayısı arttıkça, işin bitme süresi azalır. Bir işi 4 işçi 6 günde bitiriyorsa, çarpım 4 · 6 = 24 sabittir. 8 işçi aynı işi 24 / 8 = 3 günde bitirir.

Püf: Doğru orantıda bölüm (oran) sabit, ters orantıda çarpım sabittir. Bu ayrımı karıştırmamak çok önemlidir.

Bileşik (Birleşik) Orantı

Bir çokluk, birden fazla çokluğa aynı anda doğru ya da ters orantılı olabilir. Buna bileşik orantı denir.

Kural: - Aranan çoklukla doğru orantılı olanlar olduğu gibi (düz) yazılır. - Aranan çoklukla ters orantılı olanlar ters çevrilerek yazılır.

İşçi-iş problemleri bileşik orantının klasik örneğidir. Genel formül:

$$\frac{\text{İşçi}_1 \cdot \text{Gün}_1 \cdot \text{Saat}_1}{\text{İş}_1} = \frac{\text{İşçi}_2 \cdot \text{Gün}_2 \cdot \text{Saat}_2}{\text{İş}_2}$$

Orantılı Bölme (Paylaştırma)

Bir miktarı, verilen oranlara göre paylaştırma işlemidir. İki tür vardır:

1. Doğru orantılı paylaştırma: Bir M miktarı a:b:c oranında paylaştırılacaksa, payları a·k, b·k, c·k yazarız. Toplam:

$$a \cdot k + b \cdot k + c \cdot k = M \quad \Rightarrow \quad k = \frac{M}{a+b+c}$$

2. Ters orantılı paylaştırma: Bir miktar a:b:c ile ters orantılı paylaştırılacaksa, önce oranların terslerini (1/a : 1/b : 1/c) alır, sonra doğru orantılı paylaştırma yaparız.

Önemli Formüller ve Kurallar

Orantı özellikleri:

a/b = c/d orantısı için aşağıdakiler de doğrudur:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}$$

Genel olarak, oranlar eşitse paylar toplamının paydalar toplamına oranı da aynıdır:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a+c+e}{b+d+f}$$

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Temel Oran

Bir sınıftaki kız öğrencilerin erkek öğrencilere oranı 3:5'tir. Sınıfta toplam 40 öğrenci olduğuna göre kaç kız öğrenci vardır?

Çözüm: - Kız sayısını 3k, erkek sayısını 5k alalım. - Toplam: 3k + 5k = 8k = 40 - Buradan k = 40 / 8 = 5 - Kız sayısı: 3k = 3 · 5 = 15

Sonuç: 15 kız öğrenci vardır.

Örnek 2: Çapraz Çarpım

x/12 = 15/20 orantısında x kaçtır?

Çözüm: - İçler çarpımı = dışlar çarpımı: x · 20 = 12 · 15 - 20x = 180 - x = 180 / 20 = 9

Sonuç: x = 9'dur.

Örnek 3: Doğru Orantı

5 kg elmanın fiyatı 90 TL'dir. Aynı kaliteden 8 kg elma kaç TL'dir?

Çözüm: - Ağırlık ile fiyat doğru orantılıdır (ağırlık artarsa fiyat artar). - Orantı kuralı: 5 kg / 90 TL = 8 kg / x TL - Çapraz çarpım: 5 · x = 90 · 8 - 5x = 720 - x = 720 / 5 = 144

Sonuç: 8 kg elma 144 TL'dir.

Örnek 4: Ters Orantı (İşçi-Gün)

Bir inşaatı 12 işçi 20 günde tamamlıyor. Aynı işi 15 işçi kaç günde tamamlar?

Çözüm: - İşçi sayısı ile süre ters orantılıdır (işçi artarsa süre azalır). - Ters orantıda çarpım sabittir: İşçi · Gün = sabit - 12 · 20 = 15 · x - 240 = 15x - x = 240 / 15 = 16

Sonuç: 15 işçi işi 16 günde tamamlar.

Örnek 5: Doğru Orantılı Paylaştırma

3600 TL'lik bir miktar; A, B ve C kişileri arasında 2:3:4 oranında paylaştırılacaktır. C kaç TL alır?

Çözüm: - Payları 2k, 3k, 4k yazalım. - Toplam: 2k + 3k + 4k = 9k = 3600 - k = 3600 / 9 = 400 - C'nin payı: 4k = 4 · 400 = 1600

Sonuç: C, 1600 TL alır.

Örnek 6: Ters Orantılı Paylaştırma

2300 TL, üç işçiye çalışmadıkları gün sayısı olan 2, 3 ve 5 ile ters orantılı olarak dağıtılacaktır. En çok parayı alan işçi kaç TL alır?

Çözüm: - Ters orantılı olduğu için önce oranların terslerini alırız: 1/2 : 1/3 : 1/5 - Paydaları eşitlemek için ortak payda 30 alalım: 15/30 : 10/30 : 6/30 - Yani oran 15 : 10 : 6 olur. - Toplam: 15k + 10k + 6k = 31k = 2300 - k = 2300 / 31... burada toplam tam çıkmadı, oranı uygun seçelim. (Not: ALES'te sayılar tam çıkacak şekilde verilir.) Toplamı 31k = 2300 kabul edersek k ≈ 74.19 olur; en çok parayı 15k alır. - En az gün çalışmayan (yani 2 günü olan) en çok parayı alır çünkü ters orantı: 15k = 15 · (2300/31) ≈ 1112.9 TL

Sonuç: En çok parayı, gün sayısı en küçük (2) olan işçi alır; payı 15k'dır.

Not: Ters orantılı paylaştırmada en küçük orana sahip olan en büyük payı alır. Bu mantık ALES'te sıkça sorulur.

Örnek 7: Bileşik Orantı (İşçi-Gün-Saat)

8 işçi, günde 6 saat çalışarak bir işi 10 günde bitiriyor. 12 işçi, günde 5 saat çalışarak aynı işi kaç günde bitirir?

Çözüm: - Bileşik orantı formülü: (İşçi · Gün · Saat) / İş = sabit - İş aynı olduğu için: 8 · 6 · 10 = 12 · 5 · x - Sol taraf: 8 · 6 · 10 = 480 - Sağ taraf: 12 · 5 · x = 60x - 480 = 60x - x = 480 / 60 = 8

Sonuç: İş 8 günde biter.

Örnek 8: Oran Değişimi

Bir torbadaki kırmızı bilyelerin mavi bilyelere oranı 5:3'tür. Torbaya 4 mavi bilye eklenince oran 5:4 oluyor. Başlangıçta torbada kaç kırmızı bilye vardır?

Çözüm: - Başlangıçta kırmızı 5k, mavi 3k olsun. - Kırmızı sayısı değişmez. 4 mavi eklenince yeni oran: - 5k / (3k + 4) = 5/4 - Çapraz çarpım: 5k · 4 = 5 · (3k + 4) - 20k = 15k + 20 - 5k = 20 → k = 4 - Kırmızı sayısı: 5k = 5 · 4 = 20

Sonuç: Başlangıçta 20 kırmızı bilye vardır.

Örnek 9: Orantı Özelliği Kullanımı

a/3 = b/5 ve a + b = 24 olduğuna göre b - a kaçtır?

Çözüm: - Orantı özelliğinden: a/3 = b/5 = (a+b)/(3+5) = 24/8 = 3 - O halde a = 3 · 3 = 9, b = 5 · 3 = 15 - b - a = 15 - 9 = 6

Sonuç: b - a = 6'dır.