Carpanlara Ayirma Ozdeslikler — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Cebir Fonksiyonlar · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Ortak Çarpan Parantezine Alma

Bir ifadedeki tüm terimlerde ortak bulunan çarpan(lar) parantezin dışına alınır. Çarpanlara ayırmada her zaman ilk denenmesi gereken yöntemdir.

• Önce sayısal katsayıların en büyük ortak böleni (EBOB) bulunur.
• Sonra ortak değişkenlerin en küçük üssü dışarı alınır.

Örnek: 6x³ + 9x² ifadesinde ortak çarpan 3x²'dir. 6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3)

Örnek: a(x − y) + b(x − y) ifadesinde ortak çarpan (x − y) parantezidir. a(x − y) + b(x − y) = (x − y)(a + b)

2. İki Kare Farkı

İki terimin karelerinin farkı, terimlerin toplamı ile farkının çarpımına eşittir:

a² − b² = (a − b)(a + b)

Dikkat: İki kare TOPLAMI (a² + b²) reel sayılarda çarpanlara ayrılamaz.

Örnek: x² − 25 = x² − 5² = (x − 5)(x + 5) Örnek: 9a² − 16 = (3a)² − 4² = (3a − 4)(3a + 4)

3. Tam Kare Özdeşlikleri

İki terimin toplamının veya farkının karesi:

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b²

Bir üç terimlinin tam kare olup olmadığını anlamak için: ilk ve son terimin tam kare, orta terimin ise bu iki terimin kareköklerinin çarpımının iki katı olması gerekir.

Örnek: x² + 6x + 9 → x² ve 9 = 3² tam kare, orta terim 2·x·3 = 6x. O hâlde (x + 3)². Örnek: 4x² − 12x + 9 = (2x)² − 2·(2x)·3 + 3² = (2x − 3)²

4. İki Terim Toplamının/Farkının Küpü

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Bu iki özdeşlik şu şekilde de yazılabilir: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)

Bu yazım, a³ ± b³ değerini bulurken çok işe yarar.

Örnek: (x + 2)³ = x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

5. İki Küp Toplamı ve Farkı

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Hatırlatma kuralı: İlk parantezde dışarıdaki işaret (toplam veya fark) aynen kullanılır; ikinci parantezde orta terimin işareti TERS olur ("SAUS": Same, Opposite). İkinci parantezdeki orta terimde 2 KATSAYISI YOKTUR (tam kare ile karıştırmayın).

Örnek: x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4) Örnek: 27a³ + 1 = (3a)³ + 1³ = (3a + 1)(9a² − 3a + 1)

6. Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

Terim sayısı 4 veya daha fazla olduğunda ve hepsinde ortak çarpan yoksa, terimler uygun gruplara ayrılır, her grupta ortak çarpan alınır ve ardından ortaya çıkan ortak parantez dışarı alınır.

Örnek: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

Örnek: x³ − x² + x − 1 = x²(x − 1) + 1(x − 1) = (x − 1)(x² + 1)

7. İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlara Ayırma (Orta Terim / Çapraz Çarpım)

ax² + bx + c biçimindeki ifadeleri çarpanlarına ayırmak için "çarpanları orta terime göre ayırma" (AC yöntemi / çapraz çarpım) kullanılır.

Durum 1: x² + bx + c (baş katsayı 1) Çarpımı c, toplamı b olan iki sayı bulunur.

Örnek: x² + 7x + 12 → çarpımı 12, toplamı 7 olan sayılar: 3 ve 4. x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Durum 2: ax² + bx + c (baş katsayı 1 değil) — Çarpım-Toplam (AC) yöntemi a·c çarpımını veren ve toplamı b olan iki sayı bulunur, orta terim bu iki sayıya ayrılır, sonra gruplandırılır.

Örnek: 2x² + 7x + 3 a·c = 2·3 = 6, toplamı 7 olan: 6 ve 1. 2x² + 6x + 1x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1)

Çapraz çarpım (kutu) yöntemi de aynı sonucu verir: 2x² + 7x + 3 → (2x + 1)(x + 3)

8. Rasyonel İfadeleri Sadeleştirme

Pay ve payda ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır, ortak çarpanlar sadeleştirilir.

Adımlar: 1. Pay ve paydayı çarpanlarına ayır. 2. Ortak çarpanları sadeleştir. 3. Paydayı sıfır yapan değerlerin tanım kümesi dışında olduğunu unutma.

Örnek: (x² − 9) / (x² + 6x + 9) = [(x − 3)(x + 3)] / [(x + 3)²] = (x − 3) / (x + 3) (x ≠ −3 koşuluyla)

Önemli Özdeşlikler ve Kurallar

Sık kullanılan yardımcı bağıntılar: - a + b ve ab biliniyorsa: a² + b² = (a + b)² − 2ab - a − b ve ab biliniyorsa: a² + b² = (a − b)² + 2ab - a + 1/a biliniyorsa: a² + 1/a² = (a + 1/a)² − 2

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

x² − 49 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: İfade iki kare farkı biçimindedir. x² − 49 = x² − 7² a² − b² = (a − b)(a + b) özdeşliğinden: = (x − 7)(x + 7)

Sonuç: (x − 7)(x + 7)

Örnek 2:

9x² + 30x + 25 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Çözüm: İlk terim: 9x² = (3x)², son terim: 25 = 5², ikisi de tam kare. Orta terimi kontrol edelim: 2·(3x)·5 = 30x. Evet, eşleşiyor. Demek ki ifade bir tam karedir: (3x + 5)²

Sonuç: (3x + 5)²

Örnek 3:

x³ − 27 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimini bulunuz.

Çözüm: 27 = 3³ olduğundan ifade iki küp farkıdır. a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), burada a = x, b = 3. = (x − 3)(x² + 3x + 9)

İkinci paranteze dikkat: orta terim +3x (işaret ters) ve katsayı 2 yok.

Sonuç: (x − 3)(x² + 3x + 9)

Örnek 4:

ax − ay + bx − by ifadesi çarpanlarına ayrıldığında aşağıdakilerden hangisi elde edilir?

Çözüm: 4 terim var, gruplandırma yapalım. İlk iki terimde a ortak, son iki terimde b ortak: = a(x − y) + b(x − y) Ortak parantez (x − y) dışarı alınır: = (x − y)(a + b)

Sonuç: (x − y)(a + b)

Örnek 5:

3x² − 10x + 8 ifadesinin çarpanları aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: AC (çarpım-toplam) yöntemi: a·c = 3·8 = 24. Toplamı −10 olan ve çarpımı +24 olan iki sayı: −6 ve −4. Orta terimi ayıralım: 3x² − 6x − 4x + 8 = 3x(x − 2) − 4(x − 2) = (x − 2)(3x − 4)

Sonuç: (x − 2)(3x − 4)

Örnek 6:

a + b = 5 ve ab = 6 olduğuna göre a² + b² kaçtır?

Çözüm: a² + b² = (a + b)² − 2ab özdeşliğini kullanalım. = 5² − 2·6 = 25 − 12 = 13

Sonuç: 13

Örnek 7:

(x² − 5x + 6) / (x² − 9) ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir? (x ≠ 3, x ≠ −3)

Çözüm: Payı çarpanlara ayıralım: çarpımı 6, toplamı −5 olan sayılar −2 ve −3. Pay = (x − 2)(x − 3) Paydayı çarpanlara ayıralım: x² − 9 = (x − 3)(x + 3) İfade: [(x − 2)(x − 3)] / [(x − 3)(x + 3)] Ortak çarpan (x − 3) sadeleşir: = (x − 2) / (x + 3)

Sonuç: (x − 2) / (x + 3)

Örnek 8:

36 − (x − 1)² ifadesi çarpanlarına ayrıldığında aşağıdakilerden hangisi elde edilir?

Çözüm: İfade iki kare farkı biçimindedir: 6² − (x − 1)². a² − b² = (a − b)(a + b), a = 6, b = (x − 1). = [6 − (x − 1)]·[6 + (x − 1)] = (6 − x + 1)(6 + x − 1) = (7 − x)(5 + x)

Sonuç: (7 − x)(x + 5)

Örnek 9:

x + 1/x = 4 olduğuna göre x² + 1/x² kaçtır?

Çözüm: Her iki tarafın karesini alalım: (x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + 1/x² = x² + 2 + 1/x² 4² = x² + 2 + 1/x² 16 = x² + 1/x² + 2 x² + 1/x² = 14

Sonuç: 14

Örnek 10:

a³ + b³ = 35 ve a + b = 5 olduğuna göre a·b çarpımı kaçtır?

Çözüm: a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) bağıntısını kullanalım. 35 = 5³ − 3·ab·5 35 = 125 − 15ab 15ab = 125 − 35 = 90 ab = 6

Sonuç: 6