Denklem ve Esitsizlik Cozme — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Cebir Fonksiyonlar · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Bilinmeyenin (genellikle x) en yüksek kuvvetinin 1 olduğu denklemlerdir. Genel biçimi:

ax + b = 0 (a ≠ 0)

Çözümü tektir ve x = −b / a şeklindedir.

Çözüm mantığı: Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafında, sabitleri diğer tarafında toplarız. Eşitliğin iki tarafına aynı işlemi uygularız (her iki tarafa aynı sayıyı ekleme/çıkarma, her iki tarafı aynı sayıyla çarpma/bölme). Bir terim eşitliğin diğer tarafına geçerken işareti değişir.

Örnek olarak 3x + 5 = 14 denkleminde: - 5'i karşıya atarız: 3x = 14 − 5 = 9 - 3'e böleriz: x = 3

Paydalı denklemler: Paydaları yok etmek için tüm denklemi paydaların en küçük ortak katı (EKOK) ile çarparız.

Özel durumlar: - ax = b biçiminde a = 0 ve b = 0 ise denklemin sonsuz çözümü vardır (özdeşlik, her x değeri sağlar). - a = 0 ve b ≠ 0 ise denklemin çözümü yoktur (çelişki).

2. İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

İki bilinmeyenli (x ve y) iki denklemin birlikte sağlandığı (x, y) ikilisini ararız. Genel biçim:

a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂

İki temel çözüm yöntemi vardır.

a) Yok Etme (Toplama-Çıkarma) Yöntemi

Bilinmeyenlerden birinin katsayılarını eşit (veya zıt) hale getirip denklemleri taraf tarafa toplar ya da çıkarırız. Böylece bir bilinmeyen yok olur.

Örnek: - x + y = 10 - x − y = 4

Denklemleri taraf tarafa toplarsak: 2x = 14 → x = 7. Sonra ilk denklemden y = 3.

b) Yerine Koyma Yöntemi

Bir denklemden bir bilinmeyeni diğeri cinsinden yalnız bırakır, bu ifadeyi öteki denklemde yerine yazarız.

Örnek: - y = 2x + 1 - 3x + y = 11

İlkini ikincide yerine koyarız: 3x + (2x + 1) = 11 → 5x = 10 → x = 2, y = 5.

Çözüm durumları: - Tek çözüm: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (doğrular bir noktada kesişir). - Sonsuz çözüm: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ (aynı doğru). - Çözüm yok: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (paralel doğrular).

3. İkinci Dereceden Denklemler

Bilinmeyenin en yüksek kuvvetinin 2 olduğu denklemlerdir. Genel biçimi:

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

İki kök (çözüm) bulunabilir. İki temel çözüm yolu vardır.

a) Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Denklemi (x − x₁)(x − x₂) = 0 biçiminde iki çarpanın çarpımına dönüştürürüz. Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan biri sıfır olmalıdır.

x² + 5x + 6 = 0 için: çarpımı 6, toplamı 5 olan iki sayı arayalım → 2 ve 3. (x + 2)(x + 3) = 0 → x = −2 veya x = −3.

a ≠ 1 olduğunda (örneğin 2x² + 7x + 3) çapraz çarpım (AC yöntemi) kullanılır.

b) Diskriminant ve Kök Formülü

Çarpanlara ayrılamayan denklemlerde kök formülü kullanılır. Önce diskriminant (delta) hesaplanır:

Δ = b² − 4ac

Diskriminantın işareti köklerin durumunu belirler: - Δ > 0 ise iki farklı reel kök vardır. - Δ = 0 ise birbirine eşit (çift) kök (tek değer) vardır. - Δ < 0 ise reel kök yoktur (kökler karmaşık sayıdır).

Kökler:

x = (−b ± √Δ) / (2a)

4. Köklerin Toplamı ve Çarpımı (Vieta Bağıntıları)

Kökleri bulmadan, sadece katsayılardan kökler hakkında bilgi edinmemizi sağlar. ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise:

Kökler toplamı: x₁ + x₂ = −b / a Kökler çarpımı: x₁ · x₂ = c / a

Sık kullanılan türev bağıntılar: - Kökler farkının karesi: (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ - Kökler farkı: x₁ − x₂ = √Δ / a (mutlak değerce) - Terslerinin toplamı: 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂) = −b / c - Karelerinin toplamı: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂

5. İkinci Dereceden Eşitsizlikler

ax² + bx + c > 0 (veya <, ≥, ≤) biçimindeki eşitsizliklerdir. Çözüm için parabolün işaret tablosu kullanılır.

Adımlar: 1. ax² + bx + c = 0 denkleminin köklerini (x₁, x₂) bul. 2. Sayı doğrusu üzerinde kökleri işaretle, üç bölge oluşur. 3. İşaret kuralı: a > 0 ise parabol "U" biçimi; kökler dışında (+), kökler arasında (−) işaret alır. a < 0 ise işaretler tersine döner.

Kısa kural: "a ile aynı işaret köklerin dışında, ters işaret köklerin arasında."

• a > 0, kökler x₁ < x₂ için:
• ax² + bx + c > 0 → x < x₁ veya x > x₂
• ax² + bx + c < 0 → x₁ < x < x₂

Özel durumlar (Δ değerine göre): - Δ = 0: tek kök vardır, parabol sayı doğrusuna teğettir; ifade tek bir nokta dışında hep aynı işarettedir. - Δ < 0: reel kök yoktur, ifade her x için a ile aynı işarettedir (örneğin a > 0 ise her zaman pozitif).

Önemli Formüller ve Kurallar

Kök durumu özeti: - Δ > 0 → İki farklı reel kök - Δ = 0 → Çift (eşit) kök - Δ < 0 → Reel kök yok

Eşitsizlik işaret kuralı: Köklerin dışında baş katsayı a ile aynı işaret, köklerin arasında a'ya ters işaret.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1

5(x − 2) − 3 = 2x + 1 denkleminde x kaçtır?

Çözüm: - Parantezi açalım: 5x − 10 − 3 = 2x + 1 - Sol tarafı topla: 5x − 13 = 2x + 1 - Bilinmeyenleri solda, sabitleri sağda topla: 5x − 2x = 1 + 13 - 3x = 14 - x = 14 / 3

Sonuç: x = 14/3

Örnek 2

(x / 2) + (x / 3) = 5 denkleminin çözümü nedir?

Çözüm: - Paydaların EKOK'u 6'dır. Tüm denklemi 6 ile çarpalım: 3x + 2x = 30 - 5x = 30 - x = 6

Sonuç: x = 6

Örnek 3

Bir denklem sistemi veriliyor: - 2x + 3y = 12 - 4x − 3y = 6

x + y toplamı kaçtır?

Çözüm: - y katsayıları zıt (+3 ve −3) olduğundan denklemleri taraf tarafa toplayalım (yok etme): - (2x + 4x) + (3y − 3y) = 12 + 6 → 6x = 18 → x = 3 - İlk denklemde yerine koy: 2·3 + 3y = 12 → 3y = 6 → y = 2 - x + y = 3 + 2 = 5

Sonuç: x + y = 5

Örnek 4

Aşağıdaki sistemi yerine koyma yöntemiyle çözünüz: - y = x − 1 - 2x + 3y = 17

Çözüm: - İlk denklemdeki y ifadesini ikinciye koyalım: 2x + 3(x − 1) = 17 - 2x + 3x − 3 = 17 → 5x = 20 → x = 4 - y = x − 1 = 4 − 1 = 3

Sonuç: (x, y) = (4, 3)

Örnek 5

x² − 7x + 12 = 0 denkleminin kökleri çarpanlara ayırma ile bulununuz.

Çözüm: - Çarpımı 12, toplamı 7 olan iki sayı: 3 ve 4 (3·4 = 12, 3+4 = 7). - (x − 3)(x − 4) = 0 - x − 3 = 0 → x = 3 veya x − 4 = 0 → x = 4

Sonuç: x = 3 veya x = 4

Örnek 6

2x² − 4x − 1 = 0 denkleminin köklerini kök formülü ile bulununuz.

Çözüm: - a = 2, b = −4, c = −1 - Δ = b² − 4ac = (−4)² − 4·2·(−1) = 16 + 8 = 24 - Δ > 0 olduğundan iki farklı reel kök vardır. - x = (−b ± √Δ) / (2a) = (4 ± √24) / 4 - √24 = 2√6 olduğundan: x = (4 ± 2√6) / 4 = (2 ± √6) / 2

Sonuç: x = (2 + √6)/2 veya x = (2 − √6)/2

Örnek 7

x² − 6x + m = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂'dir. x₁ + x₂ = 6 verildiğine göre, x₁² + x₂² = 20 ise m kaçtır?

Çözüm: - Vieta'dan: x₁ + x₂ = −b/a = 6 (zaten veriliyor), x₁·x₂ = c/a = m. - x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ formülünü kullanalım: - 20 = 6² − 2m → 20 = 36 − 2m - 2m = 16 → m = 8

Sonuç: m = 8

Örnek 8

Kökleri 2 ve −5 olan ikinci dereceden denklem hangisidir?

Çözüm: - Kökler toplamı: 2 + (−5) = −3 - Kökler çarpımı: 2·(−5) = −10 - Denklem: x² − (toplam)x + (çarpım) = 0 - x² − (−3)x + (−10) = 0 → x² + 3x − 10 = 0

Sonuç: x² + 3x − 10 = 0

Örnek 9

x² − 5x + 6 < 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayı değerleri kaç tanedir?

Çözüm: - Önce kökleri bulalım: x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x₁ = 2, x₂ = 3. - a = 1 > 0 olduğundan ifade köklerin arasında negatiftir. - Çözüm aralığı: 2 < x < 3. - Bu aralıkta tam sayı yoktur (2 ile 3 arasında tam sayı bulunmaz).

Sonuç: 0 tane (hiç tam sayı yoktur)

Örnek 10

x² − x − 6 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Çözüm: - Kökleri bul: x² − x − 6 = 0 → (x − 3)(x + 2) = 0 → x = 3 ve x = −2. - a = 1 > 0; ifade köklerin dışında pozitif, köklerde sıfırdır. "≥" olduğu için kökler dahildir. - Çözüm: x ≤ −2 veya x ≥ 3.

Sonuç: x ∈ (−∞, −2] ∪ [3, +∞)