Ozel Tanimli Islem — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Cebir Fonksiyonlar · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Özel İşlem Nedir?

Bir küme üzerinde, iki elemanı birbiriyle ilişkilendirip yeni bir eleman üreten kurala işlem denir. Bize verilen sembol (*, Δ, ⊕, ∘ vb.) bir işlem sembolü olarak kabul edilir ve tanımındaki kurala göre çalışır.

Genel gösterim:

a * b = (a ile b cinsinden bir ifade)

Burada önemli olan, sembolün sol tarafındaki ilk eleman (a) ile sağ tarafındaki ikinci eleman (b)'yi tanımda yerine doğru koymaktır.

Örnek tanım:

a * b = 2a + b

Bu tanıma göre: - 3 * 5 = 2·(3) + (5) = 6 + 5 = 11 - 5 * 3 = 2·(5) + (3) = 10 + 3 = 13

Dikkat edin: 3 * 5 ile 5 * 3 farklı çıktı. Yani sıra önemlidir; ilk yazılan a, ikinci yazılan b yerine konur.

2. İşleme Sayı Yerleştirme

Tanımda hangi harf nereye geliyorsa, parantezlerle yerleştirmek hata yapmayı önler.

Tanım: a Δ b = a² − 2b olsun.

• 4 Δ 1 = (4)² − 2·(1) = 16 − 2 = 14
• 1 Δ 4 = (1)² − 2·(4) = 1 − 8 = −7

3. İşlem Tablosu Okuma

Sonlu bir küme (örneğin {a, b, c}) üzerinde işlem, çoğu zaman bir işlem tablosu ile verilir. Tabloda satır başındaki eleman birinci eleman, sütun başındaki eleman ikinci elemandır. Kesişim hücresi sonucu verir.

Örnek tablo (* işlemi, A = {a, b, c} kümesinde):

  *  |  a   b   c
-----+------------
  a  |  a   b   c
  b  |  b   c   a
  c  |  c   a   b

Bu tabloyu nasıl okuruz? - b * c: "b" satırı ile "c" sütununun kesişimi → a - c * b: "c" satırı ile "b" sütununun kesişimi → a - a * b: "a" satırı ile "b" sütununun kesişimi → b

Kural: x * y aranırken x satırından girip y sütununa gidilir.

4. Değişme (Komütatif) Özelliği

Bir işlemin değişme özelliği varsa, elemanların sırası değiştiğinde sonuç değişmez:

Her a, b için a * b = b * a ise işlemin değişme özelliği vardır.

Tabloda kontrol: Tablo, köşegene (sol üstten sağ alta) göre simetrik ise işlemin değişme özelliği vardır.

Yukarıdaki örnek tablo köşegene göre simetriktir (bc = cb = a, vb.), dolayısıyla değişme özelliği vardır.

5. Birleşme (Asosyatif) Özelliği

Üç eleman ardışık işleme girdiğinde, parantezin yeri sonucu değiştirmiyorsa birleşme özelliği vardır:

Her a, b, c için (a * b) * c = a * (b * c) ise işlemin birleşme özelliği vardır.

Birleşme özelliği sayesinde iç içe işlemlerde parantezi istediğimiz yere koyabiliriz.

6. Etkisiz (Birim) Eleman

Bir elemanla işleme girdiğinde diğer elemanı değiştirmeyen elemana etkisiz (birim) eleman denir; genellikle e ile gösterilir:

Her a için a * e = e * a = a sağlanıyorsa, e işlemin etkisiz elemanıdır.

• Toplamada etkisiz eleman 0'dır (a + 0 = a).
• Çarpmada etkisiz eleman 1'dir (a · 1 = a).

İşlem tablosunda etkisiz eleman, kendi satırı tablonun üst başlık satırının aynısı ve kendi sütunu sol başlık sütununun aynısı olan elemandır.

7. Ters Eleman

Bir a elemanının ters elemanı, a ile işleme girdiğinde etkisiz elemanı (e) veren elemandır; a⁻¹ ile gösterilir:

a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e

Ters elemanı bulabilmek için önce etkisiz eleman e bilinmelidir.

Önemli Formüller ve Kurallar

Etkisiz eleman bulma yöntemi (cebirsel):

a * e = a denklemini kurup e'yi çek. Örneğin a * b = a + b − 3 ise: a * e = a + e − 3 = a → e − 3 = 0 → e = 3

Ters eleman bulma yöntemi (cebirsel):

a * a⁻¹ = e denklemini kur ve a⁻¹'i çek. Yukarıdaki işlemde (e = 3): a + a⁻¹ − 3 = 3 → a⁻¹ = 6 − a

İşlem tablosu ipuçları: - Köşegene göre simetrik ⇒ değişme özelliği var. - Üst başlık satırını tekrarlayan satır ⇒ o satırın elemanı etkisiz eleman (değişmeli işlemde). - Bir satırda (veya sütunda) e'nin bulunduğu yer ⇒ o elemanın tersini verir.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

a * b = 3a − b olduğuna göre, 4 * 2 kaçtır?

Çözüm: Tanımda a = 4, b = 2 yazalım: 4 * 2 = 3·(4) − (2) = 12 − 2 = 10

Sonuç: 10

Örnek 2:

a Δ b = a + 2b − 1 olduğuna göre, (3 Δ 1) Δ 2 kaçtır?

Çözüm: Önce içteki işlem (parantez): 3 Δ 1 = 3 + 2·(1) − 1 = 3 + 2 − 1 = 4 Şimdi dıştaki işlem: 4 Δ 2 = 4 + 2·(2) − 1 = 4 + 4 − 1 = 7

Sonuç: 7

Örnek 3:

a * b = ab + a + b işleminin değişme özelliği var mıdır?

Çözüm: a * b = ab + a + b b * a = ba + b + a = ab + a + b (çarpma ve toplama değişmeli olduğundan) a * b = b * a olduğundan değişme özelliği vardır.

Sonuç: Evet, değişme özelliği vardır.

Örnek 4:

a * b = a + b + 4 işleminin etkisiz elemanı kaçtır?

Çözüm: Etkisiz eleman e için a * e = a olmalı: a * e = a + e + 4 = a e + 4 = 0 → e = −4

Sonuç: e = −4

Örnek 5:

a * b = a + b − 5 işleminde 7 elemanının tersi kaçtır?

Çözüm: Önce etkisiz elemanı bulalım: a * e = a a + e − 5 = a → e = 5 Şimdi ters eleman: 7 * 7⁻¹ = e = 5 7 + 7⁻¹ − 5 = 5 7⁻¹ + 2 = 5 → 7⁻¹ = 3

Sonuç: 7⁻¹ = 3

Örnek 6:

Aşağıdaki işlem tablosu A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlı * işlemine aittir.

  *  |  1   2   3
-----+------------
  1  |  2   3   1
  2  |  3   1   2
  3  |  1   2   3

(2 * 3) * 1 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Önce içteki işlem: 2 * 3 → "2" satırı, "3" sütunu = 2 Şimdi: 2 * 1 → "2" satırı, "1" sütunu = 3

Sonuç: 3

Örnek 7:

Örnek 6'daki tabloya göre işlemin etkisiz elemanı kaçtır?

Çözüm: Etkisiz eleman e, her x için x * e = x ve e * x = x olmalı. Tablonun üst başlık satırı: 1 2 3 Hangi elemanın satırı bu başlık satırının aynısıysa o etkisiz elemandır. - "3" satırı: 1 2 3 → üst başlık satırıyla aynı. - Ayrıca "3" sütunu: 1 2 3 → sol başlık sütunuyla aynı.

Kontrol: 1 * 3 = 1, 2 * 3 = 2, 3 * 3 = 3 ✓

Sonuç: e = 3

Örnek 8:

a * b = 2a + 2b olduğuna göre, x * 3 = 16 denklemini sağlayan x kaçtır?

Çözüm: Tanıma göre: x * 3 = 2x + 2·(3) = 2x + 6 Bu ifade 16'ya eşit: 2x + 6 = 16 2x = 10 → x = 5

Sonuç: x = 5

Örnek 9:

a Δ b = a² − b² işleminde 5 Δ 3 ile 3 Δ 5 toplamı kaçtır?

Çözüm: 5 Δ 3 = 5² − 3² = 25 − 9 = 16 3 Δ 5 = 3² − 5² = 9 − 25 = −16 Toplam: 16 + (−16) = 0

Sonuç: 0

(Not: Bu işlemde değişme özelliği yoktur; a Δ b = −(b Δ a) olduğu görülür.)

Örnek 10:

a * b = a + b + ab işleminin birleşme (asosyatif) özelliği var mıdır? (2, 3, 4 ile kontrol ediniz.)

Çözüm: Sol taraf: (2 * 3) * 4 2 * 3 = 2 + 3 + 2·3 = 5 + 6 = 11 11 * 4 = 11 + 4 + 11·4 = 15 + 44 = 59

Sağ taraf: 2 * (3 * 4) 3 * 4 = 3 + 4 + 3·4 = 7 + 12 = 19 2 * 19 = 2 + 19 + 2·19 = 21 + 38 = 59

(2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) = 59 olduğundan birleşme özelliği sağlanır.

Sonuç: Evet, birleşme özelliği vardır.