ALES

Olasilik — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Olasilik Istatistik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Örnek Uzay ve Olay

Bir deneyde elde edilebilecek tüm olası sonuçların kümesine örnek uzay denir ve genellikle E (veya S) ile gösterilir.

Olay, örnek uzayın bir alt kümesidir. Örneğin "zarın üst yüzüne çift sayı gelmesi" olayı A = {2, 4, 6} kümesidir.

Bir Olayın Olasılığı

Bir A olayının olasılığı, istenen (uygun) durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır:

$$P(A) = \frac{\text{istenen durum sayısı}}{\text{tüm durum sayısı}} = \frac{s(A)}{s(E)}$$

Buradaki temel koşul, örnek uzaydaki tüm sonuçların eşit olasılıklı olmasıdır. Örneğin zarın her yüzünün gelme şansı eşittir.

Önemli: Her olasılık değeri 0 ≤ P(A) ≤ 1 aralığındadır.

Kesin Olay ve İmkânsız Olay

Ayrık (Bağdaşmaz) Olaylar

İki olayın ortak elemanı yoksa bu olaylara ayrık (bağdaşmaz) olaylar denir. Yani aynı anda gerçekleşemezler.

$$A \cap B = \varnothing \implies P(A \cap B) = 0$$

Örnek: Bir zar atışında "1 gelmesi" ile "6 gelmesi" ayrık olaylardır; ikisi aynı anda olamaz.

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

"Ve" Olasılığı (Kesişim)

İki olayın ikisinin birden gerçekleşmesi durumudur ("hem A hem B").

"Veya" Olasılığı (Birleşim)

İki olaydan en az birinin gerçekleşmesi durumudur ("A veya B").

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Olaylar ayrık ise (ortak eleman yok) $P(A \cap B) = 0$ olduğundan:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Tümleyen Olasılığı

Bir A olayının gerçekleşmemesi olayına tümleyen denir ve A' (veya A^c) ile gösterilir.

$$P(A') = 1 - P(A)$$

Bu kural, "en az bir" türü sorularda çok işe yarar: "En az bir" ifadesinin tümleyeni "hiç" demektir.

Koşullu Olasılığa Kısa Giriş

B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığına koşullu olasılık denir:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Örneğin "bir zarda gelen sayının çift olduğu biliniyor; bu sayının 4 olma olasılığı nedir?" sorusunda örnek uzay {2, 4, 6}'ya daralır ve cevap 1/3 olur.

Önemli Formüller ve Kurallar

Kavram Formül
Bir olayın olasılığı $P(A) = \dfrac{s(A)}{s(E)}$
Olasılık aralığı $0 \le P(A) \le 1$
Kesin olay $P(E) = 1$
İmkânsız olay $P(\varnothing) = 0$
Tümleyen $P(A') = 1 - P(A)$
Veya (birleşim) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Ayrık olaylarda veya $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Bağımsız olaylarda ve $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Bağımlı olaylarda ve $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
Koşullu olasılık $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Hatırlatma: İki zar atıldığında örnek uzay 6 × 6 = 36 sonuçtan, iki para atıldığında 2 × 2 = 4 sonuçtan oluşur.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Tek Zar

Soru: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: - Tüm durum sayısı: s(E) = 6 → {1, 2, 3, 4, 5, 6} - İstenen durum (asal sayılar): {2, 3, 5} → s(A) = 3 - P(A) = 3/6 = 1/2

Sonuç: 1/2

Örnek 2: İki Zarın Toplamı

Soru: İki zar birlikte atıldığında üst yüzlere gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: - Tüm durum sayısı: 6 × 6 = 36 - Toplamı 7 yapan ikililer: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 durum - P = 6/36 = 1/6

Sonuç: 1/6

Örnek 3: İki Para (Bağımsız Olay)

Soru: İki madenî para birlikte atıldığında ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm: - Bir parada tura gelme olasılığı: 1/2 - Paralar bağımsız olduğundan "ve" durumunda olasılıklar çarpılır: - P(Tura ve Tura) = 1/2 × 1/2 = 1/4

Alternatif (örnek uzay): E = {YY, YT, TY, TT}, s(E) = 4, istenen {TT} → 1/4

Sonuç: 1/4

Örnek 4: Top Çekme (Tek Çekiliş)

Soru: İçinde 4 kırmızı, 6 mavi top bulunan bir torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen topun mavi olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: - Toplam top sayısı: 4 + 6 = 10 - İstenen (mavi): 6 - P(Mavi) = 6/10 = 3/5

Sonuç: 3/5

Örnek 5: İadesiz Top Çekme (Bağımlı Olay)

Soru: İçinde 3 beyaz, 5 siyah top olan bir torbadan ardı ardına (yerine koymadan) 2 top çekiliyor. İkisinin de beyaz olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: - Toplam top: 3 + 5 = 8 - 1. çekilişte beyaz olma olasılığı: 3/8 - 1. top beyaz çıktıysa torbada 2 beyaz, toplam 7 top kalır. - 2. çekilişte beyaz olma olasılığı: 2/7 - Bağımlı olaylarda "ve" → çarpılır: - P = 3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28

Sonuç: 3/28

Örnek 6: "Veya" Olasılığı

Soru: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 3'ün katı veya çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: - 3'ün katları: A = {3, 6} → P(A) = 2/6 - Çift sayılar: B = {2, 4, 6} → P(B) = 3/6 - Ortak eleman (hem 3'ün katı hem çift): {6} → P(A ∩ B) = 1/6 - P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 2/6 + 3/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3

Sonuç: 2/3

Örnek 7: Tümleyen ("En Az Bir")

Soru: Üç para birlikte atıldığında en az bir tura gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm: - "En az bir tura" olayının tümleyeni "hiç tura gelmemesi", yani hepsinin yazı gelmesidir. - Tüm durum sayısı: 2 × 2 × 2 = 8 - Hepsi yazı (YYY): 1 durum → P(hiç tura yok) = 1/8 - P(en az bir tura) = 1 − 1/8 = 7/8

Sonuç: 7/8

Örnek 8: Kart Çekme

Soru: 52'lik standart bir iskambil destesinden rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartın kupa veya as olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: - Toplam kart: 52 - Kupa kartlar: 13 → P(Kupa) = 13/52 - As kartlar: 4 → P(As) = 4/52 - Ortak (kupa ası): 1 → P(Kupa ∩ As) = 1/52 - P(Kupa ∪ As) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13

Sonuç: 4/13

Örnek 9: Koşullu Olasılık

Soru: Bir zar atılıyor ve gelen sayının çift olduğu biliniyor. Bu sayının 4'ten büyük olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: - Bilinen koşul: sayı çift → örnek uzay {2, 4, 6}'ya daralır, s = 3 - Çift sayılar içinde 4'ten büyük olan: {6} → 1 durum - P(4'ten büyük | çift) = 1/3

Sonuç: 1/3

Örnek 10: Kombinasyonlu Top Problemi

Soru: İçinde 5 kırmızı, 3 yeşil top olan torbadan aynı anda 2 top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: - 8 toptan 2 top seçimi: C(8,2) = (8×7)/2 = 28 → tüm durum - 5 kırmızıdan 2 kırmızı seçimi: C(5,2) = (5×4)/2 = 10 → istenen durum - P = 10/28 = 5/14

Sonuç: 5/14

Bu konuyu çöz: alıştırmaları interaktif olarak çöz, cevap anahtarıyla karşılaştır.

Alıştırmaları Çöz →