Istatistik — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Olasilik Istatistik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

İstatistikte bir veri grubunu tek bir sayı ile temsil etmeye çalışırız. Bu sayılara merkezi eğilim ölçüleri denir. Verinin ne kadar yayıldığını ölçmek için ise yayılım (dağılım) ölçüleri kullanılır.

1. Aritmetik Ortalama (Ortalama)

Bir veri grubundaki tüm değerlerin toplamının, veri sayısına bölünmesiyle elde edilir. En sık kullanılan merkezi eğilim ölçüsüdür.

Aritmetik Ortalama = (Tüm verilerin toplamı) / (Veri sayısı)

Örnek: 4, 6, 8, 10, 12 sayılarının aritmetik ortalaması: (4 + 6 + 8 + 10 + 12) / 5 = 40 / 5 = 8'dir.

Önemli ilişki: Toplam = Ortalama × Veri sayısı

Bu eşitlik, ortalamaya eleman ekleme/çıkarma sorularının anahtarıdır.

2. Ortanca (Medyan)

Veriler küçükten büyüğe (ya da büyükten küçüğe) sıralandığında tam ortada kalan değerdir. Veriyi iki eşit parçaya böler.

• Veri sayısı (n) TEK ise: Tam ortadaki tek değer ortancadır. Ortanca, baştan (n+1)/2 . sıradaki değerdir.
• Veri sayısı (n) ÇİFT ise: Ortadaki iki değerin aritmetik ortalaması ortancadır.

Örnek (tek): 3, 5, 7, 9, 11 → ortadaki değer 7'dir. Ortanca = 7.

Örnek (çift): 2, 4, 6, 8 → ortadaki iki değer 4 ve 6'dır. Ortanca = (4 + 6) / 2 = 5.

Dikkat: Ortanca bulmadan önce verileri MUTLAKA sıralamalısınız. Sıralamadan ortadaki değeri almak en sık yapılan hatadır.

3. Tepe Değer (Mod)

Veri grubunda en çok tekrar eden (en sık görülen) değerdir.

• Bir veri grubunda birden fazla mod olabilir.
• Tüm değerler eşit sayıda tekrar ediyorsa mod yoktur.

Örnek: 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9 → en çok tekrar eden 7 (üç kez). Mod = 7.

Örnek (iki modlu): 4, 4, 6, 6, 9 → hem 4 hem 6 ikişer kez. Mod = 4 ve 6.

4. Ağırlıklı Ortalama

Her verinin önem derecesi (ağırlığı) farklı olduğunda kullanılır. Her değer kendi ağırlığıyla çarpılır, toplanır ve ağırlıkların toplamına bölünür.

Ağırlıklı Ortalama = (Σ (değer × ağırlık)) / (Σ ağırlık)

Örnek: Bir dersin notu, vize %40 ve final %60 ağırlıkla hesaplanıyor. Vize 70, final 90 ise: (70 × 40 + 90 × 60) / (40 + 60) = (2800 + 5400) / 100 = 8200 / 100 = 82.

5. Açıklık (Ranj)

Bir veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Verinin yayılımı hakkında kaba bir bilgi verir.

Açıklık (Ranj) = En büyük değer − En küçük değer

Örnek: 12, 5, 8, 20, 3 → Ranj = 20 − 3 = 17.

6. Varyans ve Standart Sapma (Temel Düzey)

Verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını (ne kadar yayıldığını) ölçen ölçülerdir.

Standart sapma KÜÇÜKSE: Veriler ortalamaya yakın toplanmıştır (homojen / tutarlı). Standart sapma BÜYÜKSE: Veriler ortalamadan uzağa yayılmıştır (heterojen / dağınık).

Hesaplama adımları: 1. Aritmetik ortalama bulunur. 2. Her değerin ortalamadan farkı alınır. 3. Bu farkların kareleri alınır. 4. Karelerin ortalaması alınır → bu Varyans'tır. 5. Varyansın karekökü → Standart Sapma'dır.

Varyans = (Σ (xi − ortalama)²) / n

Standart Sapma = √Varyans

Yani: Standart Sapma² = Varyans (bu ilişki çok sorulur).

Örnek: 2, 4, 6 verilerinin standart sapması: - Ortalama = (2 + 4 + 6) / 3 = 4 - Farklar: (2−4) = −2, (4−4) = 0, (6−4) = 2 - Farkların kareleri: 4, 0, 4 - Varyans = (4 + 0 + 4) / 3 = 8/3 - Standart Sapma = √(8/3) ≈ 1,63

ALES İpucu: Standart sapma genellikle kavramsal sorulur ("hangi grubun standart sapması daha büyüktür?" gibi). Tüm değerleri eşit ise standart sapma = 0'dır.

7. Veri Yorumlama

Tablo, çizgi grafik, sütun grafik veya daire (pasta) grafiğindeki verilerden ortalama, toplam, oran gibi değerleri çıkarmaya dayanır. Grafiği dikkatli okumak, eksen değerlerini ve birimleri doğru almak en önemli noktadır.

Önemli Formüller ve Kurallar

Altın Kurallar:

• Tüm sayılara aynı k sayısı eklenirse: Ortalama, ortanca, mod k kadar artar; ranj ve standart sapma DEĞİŞMEZ.
• Tüm sayılar aynı k sayısı ile çarpılırsa: Ortalama, ortanca, mod, ranj ve standart sapma k katına çıkar.
• Ardışık sayıların (veya aritmetik dizinin) aritmetik ortalaması = ortancası = (İlk terim + Son terim) / 2'dir.
• Bir gruba ortalamaya eşit bir değer eklenirse ortalama değişmez.
• Eklenen değer ortalamadan büyükse ortalama artar, küçükse azalır.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

5, 8, 11, 14, 17 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?

Çözüm: - Adım 1 — Toplamı bulalım: 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 55 - Adım 2 — Veri sayısı = 5 - Adım 3 — Ortalama = 55 / 5 = 11

Sonuç: 11

(Not: Sayılar aritmetik dizi olduğundan ortalama = ortadaki terim = 11 olarak da bulunabilir.)

Örnek 2:

7, 3, 9, 1, 6, 4 sayılarının ortancası (medyanı) kaçtır?

Çözüm: - Adım 1 — Sayıları küçükten büyüğe sıralayalım: 1, 3, 4, 6, 7, 9 - Adım 2 — Veri sayısı 6 (çift). Ortadaki iki değer: 4 ve 6 - Adım 3 — Ortanca = (4 + 6) / 2 = 5

Sonuç: 5

Örnek 3:

2, 5, 5, 7, 5, 9, 7 sayılarının modu (tepe değeri) ve ortancası kaçtır?

Çözüm: - Mod için: 5 sayısı 3 kez, 7 sayısı 2 kez tekrar ediyor. En çok tekrar eden → Mod = 5 - Ortanca için sıralayalım: 2, 5, 5, 5, 7, 7, 9 (7 veri, tek) - Ortadaki (4.) değer = 5 → Ortanca = 5

Sonuç: Mod = 5, Ortanca = 5

Örnek 4: (Ortalamaya eleman EKLEME)

6 kişilik bir grubun yaş ortalaması 20'dir. Gruba 27 yaşında bir kişi katılırsa yeni yaş ortalaması kaç olur?

Çözüm: - Adım 1 — Mevcut toplam = Ortalama × Kişi sayısı = 20 × 6 = 120 - Adım 2 — Yeni kişi eklendi: Yeni toplam = 120 + 27 = 147 - Adım 3 — Yeni kişi sayısı = 6 + 1 = 7 - Adım 4 — Yeni ortalama = 147 / 7 = 21

Sonuç: 21

Örnek 5: (Ortalamaya eleman ÇIKARMA)

8 öğrencinin not ortalaması 75'tir. En düşük not alan öğrenci (50 puan) gruptan çıkarılırsa kalan öğrencilerin not ortalaması kaç olur?

Çözüm: - Adım 1 — Toplam not = 75 × 8 = 600 - Adım 2 — Çıkarılan öğrenci sonrası toplam = 600 − 50 = 550 - Adım 3 — Kalan öğrenci sayısı = 8 − 1 = 7 - Adım 4 — Yeni ortalama = 550 / 7 ≈ 78,57

Sonuç: 550/7 ≈ 78,57

Örnek 6: (Bilinmeyeni bulma)

4, 9, x, 12, 10 sayılarının aritmetik ortalaması 9 olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm: - Adım 1 — Toplam = Ortalama × Veri sayısı = 9 × 5 = 45 - Adım 2 — Bilinen değerlerin toplamı: 4 + 9 + 12 + 10 = 35 - Adım 3 — x = Toplam − Bilinenler = 45 − 35 = 10

Sonuç: x = 10

Örnek 7: (Ağırlıklı ortalama)

Bir öğrencinin sınavlardan aldığı notlar ve kredileri şöyledir: - Matematik: 80 not, 4 kredi - Fizik: 60 not, 3 kredi - Kimya: 70 not, 3 kredi

Bu öğrencinin ağırlıklı not ortalaması kaçtır?

Çözüm: - Adım 1 — Her notu kredisiyle çarpıp toplayalım: (80 × 4) + (60 × 3) + (70 × 3) = 320 + 180 + 210 = 710 - Adım 2 — Kredilerin toplamı = 4 + 3 + 3 = 10 - Adım 3 — Ağırlıklı ortalama = 710 / 10 = 71

Sonuç: 71

Örnek 8: (İki grubun birleştirilmesi)

20 kişilik bir sınıfın matematik ortalaması 60, 30 kişilik başka bir sınıfın ortalaması 70'tir. İki sınıf birleştirildiğinde 50 kişinin ortalaması kaç olur?

Çözüm: - Adım 1 — Birinci sınıfın toplamı = 60 × 20 = 1200 - Adım 2 — İkinci sınıfın toplamı = 70 × 30 = 2100 - Adım 3 — Genel toplam = 1200 + 2100 = 3300 - Adım 4 — Toplam kişi = 20 + 30 = 50 - Adım 5 — Birleşik ortalama = 3300 / 50 = 66

Sonuç: 66 (Dikkat: Cevap iki ortalamanın ortalaması olan 65 DEĞİLDİR; grupların kişi sayıları farklı olduğu için ağırlıklı düşünülür.)

Örnek 9: (Ranj ve standart sapma kavramı)

Aşağıdaki iki veri grubundan hangisinin standart sapması daha büyüktür? A grubu: 50, 50, 50, 50 B grubu: 20, 40, 60, 80

Çözüm: - A grubu: Tüm değerler eşit (hepsi 50). Değerler ortalamadan hiç sapmıyor → Standart sapma = 0 - B grubu: Değerler 20 ile 80 arasında geniş yayılmış → Standart sapma büyük - Ranj kontrolü: A için ranj = 50 − 50 = 0, B için ranj = 80 − 20 = 60

Sonuç: B grubunun standart sapması daha büyüktür.

Örnek 10: (Tüm verilere işlem uygulama)

Bir veri grubunun aritmetik ortalaması 12, standart sapması 3'tür. Gruptaki her sayıya 5 eklenirse yeni ortalama ve yeni standart sapma kaç olur?

Çözüm: - Adım 1 — Her sayıya sabit eklenince ortalama da o kadar artar: Yeni ortalama = 12 + 5 = 17 - Adım 2 — Sabit ekleme verilerin birbirine göre uzaklığını DEĞİŞTİRMEZ, dolayısıyla standart sapma aynı kalır: Yeni standart sapma = 3

Sonuç: Yeni ortalama = 17, Yeni standart sapma = 3