Acilar — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Açı Kavramı ve Birimleri

Açı, başlangıç noktaları (köşesi) ortak olan iki ışının oluşturduğu geometrik şekildir. Ortak başlangıç noktasına köşe, ışınlara ise açının kenarları denir.

Bir açının ölçüsü genellikle derece (°) ile gösterilir. Bir tam dönüş (tur) 360° olarak tanımlanır.

• Bir tam tur = 360°
• Bir derece (1°) = 60 dakika (60′)
• Bir dakika (1′) = 60 saniye (60″)

Örneğin 30°15′ ifadesi "otuz derece on beş dakika" diye okunur. ALES sorularında genellikle yalnızca derece kullanılır, ancak dakika-saniye dönüşümü de nadiren karşımıza çıkabilir.

Bir açıyı genelde köşe harfi ile gösteririz: $\widehat{ABC}$ ya da kısaca $\widehat{B}$ (B köşesindeki açı). Açı ölçüsü için $m(\widehat{ABC})$ gösterimi kullanılır.

Açı Çeşitleri (Ölçüye Göre)

Açıları ölçülerine göre sınıflandırırız:

• Dar açı: Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açıdır (0° < α < 90°). Örneğin 35°, 60° birer dar açıdır. Şekil olarak iki kenar birbirine "kapalı", sivri bir köşe oluşturur.

• Dik açı: Ölçüsü tam 90° olan açıdır. Dik açının kenarları birbirine diktir; köşede genellikle küçük bir kare sembolüyle gösterilir. Bir "L" harfinin köşesini düşünebilirsiniz.

• Geniş açı: Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açıdır (90° < α < 180°). Örneğin 120°, 150° birer geniş açıdır. Kenarlar dik açıdan daha fazla açılmıştır.

• Doğru açı: Ölçüsü tam 180° olan açıdır. İki kenar zıt yönlerde uzanır ve düz bir doğru oluşturur. Bir cetvelin düz kenarını düşünün; köşenin iki yanı aynı doğru üzerindedir.

• Tam açı: Ölçüsü tam 360° olan açıdır. Bir kenar başlangıç konumundan başlayıp tam bir tur dönerek aynı konuma geri döner.

Özel Açı İlişkileri

Tümler (Komple) Açılar: Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir. Bir açının tümleyeni, 90°'den o açının ölçüsü çıkarılarak bulunur.

40°'nin tümleyeni 90° − 40° = 50°'dir.

Şekil olarak: Bir dik açının (90°) içinden çizilen bir ışın, dik açıyı iki parçaya böler; bu iki parça birbirinin tümleyenidir.

Bütünler (Suplement) Açılar: Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir. Bir açının bütünleyeni, 180°'den o açının ölçüsü çıkarılarak bulunur.

110°'nin bütünleyeni 180° − 110° = 70°'dir.

Şekil olarak: Bir doğru (180°) üzerindeki bir noktadan yukarı doğru bir ışın çizildiğinde, doğrunun iki yanında oluşan iki açı birbirinin bütünleyenidir.

Komşu, Ters ve Yöndeş Açılar

Komşu açılar: Köşeleri ve bir kenarları ortak olan, içleri çakışmayan açılardır. Aynı doğru üzerinde yan yana duran iki açıyı düşünün; ortadaki ışın her ikisinin de ortak kenarıdır.

Ters (Tepe) açılar: İki doğru bir noktada kesiştiğinde, kesişim noktasının karşılıklı (tepe) açıları oluşur. Birbirine ters olan bu açılar eşittir.

Şekil olarak: İki doğru "X" şeklinde kesişir. Karşılıklı (üst-üste değil, çapraz karşı) duran açılar birbirine eşittir. X'in solundaki ile sağındaki açı eşit, üstündeki ile altındaki açı eşittir.

İki doğru kesiştiğinde oluşan dört açıdan: - Karşılıklı (ters) açılar eşittir. - Yan yana (komşu) açılar bütünlerdir (toplamları 180°).

Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar

İki paralel doğru ($d_1 \parallel d_2$) bir kesen doğru ile kesildiğinde toplam 8 açı oluşur. Bu açılar arasındaki ilişkiler ALES'in en sık sorduğu konudur.

Durumu şöyle hayal edin: İki yatay paralel doğru var (üstte $d_1$, altta $d_2$). Bunları çapraz kesen bir doğru (kesen) her iki paralel doğruyu da deler. Üstteki kesişimde 4 açı, alttaki kesişimde 4 açı oluşur.

Yöndeş açılar: Kesenin aynı tarafında, paralel doğrulara göre aynı konumda bulunan açılardır (biri üst kesişimin sol-üstü, diğeri alt kesişimin sol-üstü gibi). Yöndeş açılar eşittir.

İç ters açılar: İki paralel doğrunun arasında (iç bölgede) ve kesenin farklı taraflarında bulunan açılardır. "Z" harfi şeklini oluştururlar. İç ters açılar eşittir.

Dış ters açılar: İki paralel doğrunun dışında ve kesenin farklı taraflarında bulunan açılardır. İç ters açıların paralel doğruların dışındaki karşılıkları gibidir. Dış ters açılar eşittir.

Karşı durumlu (iç-aynı taraf) açılar: Paralel doğruların arasında ve kesenin aynı tarafında bulunan açılardır. "C" ya da "U" harfini andırırlar. Bu açılar bütünlerdir (toplamları 180°).

Özetle: Paralel doğrularda eşit açıları "Z şekli" (iç ters) ve "F şekli" (yöndeş) ile, bütünler açıları ise "C şekli" (iç-aynı taraf) ile hatırlayabilirsiniz.

Zikzak (Z kuralı) genel hali: Paralel iki doğru arasında kırık bir çizgi (zikzak) çizildiğinde, kırılma noktasındaki açı, paralel doğrularla yaptığı açıların toplamına eşittir. Bu kural ALES'te çok işe yarar (aşağıda örnekte göreceğiz).

Açıortay

Açıortay, bir açıyı iki eş (eşit ölçülü) açıya bölen ışındır. Açının köşesinden başlar ve açının içinden geçer.

• Bir açının açıortayı, açıyı iki eşit parçaya böler. α açısının açıortayı, açıyı $\frac{\alpha}{2}$ ve $\frac{\alpha}{2}$ olarak ikiye ayırır.
• Açıortay üzerindeki her nokta, açının iki kenarına eşit uzaklıktadır.

Önemli Formüller ve Kurallar

Pratik hatırlatmalar:

• Bir açının tümleyeni: 90° − α
• Bir açının bütünleyeni: 180° − α
• İki doğru kesiştiğinde komşu açılar bütünler, ters açılar eşittir.
• Paralel doğrularda: aynı taraftaki açılar (Z dışı, C şekli) bütünler; Z ve F şekli açıları eşittir.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Bir açının ölçüsü, tümleyeninin ölçüsünün 4 katıdır. Bu açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

Açının ölçüsü α olsun. Tümleyeni (90° − α)'dır.

Verilen koşula göre açı, tümleyeninin 4 katıdır:

$$\alpha = 4 \cdot (90° - \alpha)$$ $$\alpha = 360° - 4\alpha$$ $$5\alpha = 360°$$ $$\alpha = 72°$$

Sonuç: Açının ölçüsü 72°'dir. (Kontrol: tümleyeni 18°, ve 4 × 18° = 72°. ✓)

Örnek 2:

Bir açı ile bütünleyeni arasındaki fark 50°'dir. Bu açılardan büyük olanı kaç derecedir?

Çözüm:

Açı α, bütünleyeni (180° − α) olsun. Büyük açı küçük açıdan 50° fazladır.

Büyük açı = küçük açı + 50° ise, iki açının toplamı 180° olduğundan:

$$\text{Büyük} + \text{Küçük} = 180°$$ $$\text{Büyük} - \text{Küçük} = 50°$$

İki denklemi toplarsak:

$$2 \cdot \text{Büyük} = 230° \Rightarrow \text{Büyük} = 115°$$

Sonuç: Büyük açı 115°'dir. (Küçük açı 65°; fark 50°. ✓)

Örnek 3:

Aşağıdaki şekilde O noktasında AB ve CD doğruları kesişmektedir. $\widehat{AOC} = (3x + 10)°$ ve onun ters açısı $\widehat{BOD} = (5x - 30)°$ ise, x kaçtır?

Çözüm:

İki doğru kesiştiğinde ters (tepe) açılar birbirine eşittir:

$$\widehat{AOC} = \widehat{BOD}$$ $$3x + 10 = 5x - 30$$ $$10 + 30 = 5x - 3x$$ $$40 = 2x \Rightarrow x = 20$$

Sonuç: x = 20'dir. (Açılar: 3·20+10 = 70° ve 5·20−30 = 70°. ✓)

Örnek 4:

Bir doğru üzerindeki O noktasından çizilen ışınlarla oluşan komşu açılar sırasıyla $(2x)°$, $(3x)°$ ve $(x + 30)°$'dir. Bu açıların ölçüleri nedir?

Çözüm:

Bu üç açı bir doğru üzerinde yan yana olduğundan, toplamları doğru açıya (180°) eşittir:

$$2x + 3x + (x + 30) = 180°$$ $$6x + 30 = 180°$$ $$6x = 150° \Rightarrow x = 25$$

Açılar: - $2x = 50°$ - $3x = 75°$ - $x + 30 = 55°$

Sonuç: Açılar 50°, 75° ve 55°'dir. (Toplam: 50 + 75 + 55 = 180°. ✓)

Örnek 5:

$d_1 \parallel d_2$ olmak üzere, bir kesen bu paralel doğruları kesmektedir. Üst kesişimde oluşan bir açı 65° ise, alt kesişimde bu açının iç ters açısının ölçüsü kaç derecedir? Ayrıca aynı açının iç-aynı taraftaki (karşı durumlu) açısı kaç derecedir?

Çözüm:

Paralel doğrularda iç ters açılar eşittir. Dolayısıyla 65°'nin iç ters açısı da:

$$65°$$

İç-aynı taraftaki (C şekli) açılar ise bütünlerdir (toplamları 180°):

$$180° - 65° = 115°$$

Sonuç: İç ters açı 65°, iç-aynı taraftaki açı 115°'dir.

Örnek 6:

$d_1 \parallel d_2$ paralel doğruları arasında bir K noktası vardır. K noktasından kırık (zikzak) bir çizgi geçmektedir. K noktasının ürettiği açı $\widehat{K}$, üstteki paralel doğru ($d_1$) ile 40°, alttaki paralel doğru ($d_2$) ile 55° açı yapmaktadır. $\widehat{K}$ kaç derecedir?

Çözüm:

Z (zikzak) kuralı: Paralel doğrular arasındaki kırılma noktasının açısı, paralel doğrularla yapılan iki açının toplamına eşittir.

K noktasından paralel doğrulara paralel bir yardımcı doğru çizilirse, bu doğru $\widehat{K}$ açısını iki parçaya böler. Her parça, iç ters açılar yardımıyla ilgili paralel doğrunun açısına eşit olur:

$$\widehat{K} = 40° + 55° = 95°$$

Sonuç: $\widehat{K} = $ 95°'dir.

Örnek 7:

Bir açının açıortayı ile açının bir kenarı arasındaki açı 35°'dir. Bu açının ölçüsü kaç derecedir? Ayrıca bu açının bütünleyeni kaç derecedir?

Çözüm:

Açıortay açıyı iki eşit parçaya böler. Açıortay ile kenar arasındaki açı, tüm açının yarısıdır:

$$\frac{\alpha}{2} = 35° \Rightarrow \alpha = 70°$$

Bütünleyeni:

$$180° - 70° = 110°$$

Sonuç: Açı 70°, bütünleyeni 110°'dir.

Örnek 8:

Bir noktada birleşen dört ışın, çevrede dört açı oluşturmaktadır. Bu açılar sırasıyla $x°$, $(x + 20)°$, $(2x)°$ ve $(x - 10)°$'dir. En büyük açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

Bir nokta etrafındaki açıların toplamı tam açıdır (360°):

$$x + (x + 20) + 2x + (x - 10) = 360°$$ $$5x + 10 = 360°$$ $$5x = 350° \Rightarrow x = 70$$

Açılar: - $x = 70°$ - $x + 20 = 90°$ - $2x = 140°$ - $x - 10 = 60°$

En büyük açı $2x = 140°$'dir.

Sonuç: En büyük açı 140°'dir. (Toplam: 70 + 90 + 140 + 60 = 360°. ✓)

Örnek 9:

İki açının ölçüleri 3 ile 7 sayılarıyla doğru orantılıdır ve bu açılar bütünlerdir. Büyük açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

Açılar $3k$ ve $7k$ olsun. Bütünler oldukları için toplamları 180°'dir:

$$3k + 7k = 180°$$ $$10k = 180° \Rightarrow k = 18°$$

Büyük açı:

$$7k = 7 \cdot 18° = 126°$$

Sonuç: Büyük açı 126°'dir. (Küçük açı 54°; toplam 180°. ✓)

Örnek 10: (Saat — Akrep-Yelkovan Açısı)

Saat 3:00'ü gösterirken akrep (saat kolu) ile yelkovan (dakika kolu) arasındaki dar açı kaç derecedir?

Çözüm:

Bir saat kadranı 360°'dir ve 12 eşit bölüme ayrılmıştır. Her bölüm (her saat aralığı):

$$360° / 12 = 30°$$

Saat 3:00'te yelkovan 12'yi, akrep 3'ü gösterir. Aralarında 3 bölüm vardır:

$$3 \cdot 30° = 90°$$

Sonuç: Aralarındaki açı 90°'dir.

Genel kural: Akrebin 12'ye göre açısı = (saat·30) + (dakika·0,5); yelkovanın açısı = dakika·6. İki açının farkının mutlak değeri aradaki açıyı verir (180°'den büyükse 360°'den çıkarın).