Ozel Ucgenler ve Pisagor — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Dik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı

Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki en uzun kenara hipotenüs denir; diğer iki kenara dik kenar denir.

Dik üçgende kenarlar arasında şu bağıntı vardır (Pisagor Teoremi):

a² + b² = c²

Burada c hipotenüs, a ve b ise dik kenarlardır. Yani: "Dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir."

• İki dik kenar biliniyorsa hipotenüs: c = √(a² + b²)
• Hipotenüs ve bir dik kenar biliniyorsa diğeri: a = √(c² − b²)

Pisagor Üçlüleri

Pisagor bağıntısını sağlayan ve hepsi tam sayı olan kenar üçlülerine Pisagor üçlüsü denir. Bunları ezberlemek soru çözümünü ciddi şekilde hızlandırır.

En sık çıkanlar:

• 3 - 4 - 5 (çünkü 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²)
• 5 - 12 - 13 (25 + 144 = 169 = 13²)
• 8 - 15 - 17 (64 + 225 = 289 = 17²)
• 7 - 24 - 25 (49 + 576 = 625 = 25²)
• 20 - 21 - 29

Önemli: Bir Pisagor üçlüsünün tüm kenarları aynı sayıyla çarpılırsa yeni bir üçlü elde edilir. Örneğin 3-4-5 üçlüsünü 2 ile çarparsak 6-8-10, 3 ile çarparsak 9-12-15 elde edilir. Bunlar da dik üçgendir.

Dik Üçgende Hipotenüse Ait Kenarortay

Bir dik üçgende, dik açının köşesinden hipotenüsün orta noktasına çizilen kenarortay, daima hipotenüsün yarısına eşittir.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay = Hipotenüs / 2

Bunun nedeni, hipotenüsün orta noktasının üçgenin çevrel çemberinin merkezi olması ve üç köşeye de eşit (yarıçap) uzaklıkta bulunmasıdır (Thales). ALES'te dik üçgen verilip "hipotenüsün orta noktası" geçiyorsa bu kural çoğu zaman anahtardır.

Özel Açılı Dik Üçgenler

Bazı açı değerlerinde kenar oranları sabittir. Bunları bilmek, trigonometri kullanmadan kenar bulmayı sağlar.

30-60-90 Üçgeni

Açıları 30°, 60° ve 90° olan dik üçgende kenar oranları:

• 30°'nin karşısı (en kısa kenar): x
• 60°'nin karşısı: x√3
• 90°'nin karşısı (hipotenüs): 2x

Yani kenarlar x : x√3 : 2x oranındadır.

İpucu: En kısa kenar (30° karşısı) hipotenüsün yarısıdır.

45-45-90 Üçgeni (İkizkenar Dik Üçgen)

Açıları 45°, 45° ve 90° olan dik üçgende iki dik kenar eşittir:

• Dik kenarlar: x ve x
• Hipotenüs: x√2

Yani kenarlar x : x : x√2 oranındadır.

İpucu: Bir karenin köşegeni bu üçgeni oluşturur; köşegen = kenar × √2.

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

Bir dik üçgende, dar açılardan birine (α) göre kenarlar karşı dik kenar, komşu dik kenar ve hipotenüs olarak adlandırılır. Temel üç oran şöyledir (kısaca "SOH-CAH-TOA"):

• sin α = Karşı / Hipotenüs
• cos α = Komşu / Hipotenüs
• tan α = Karşı / Komşu

Özel açıların değerleri (ALES'te bu tablo yeterlidir):

Bu değerler aslında 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenlerinin kenar oranlarından gelir; ezberlemek yerine o üçgenleri çizip oranlardan da bulabilirsiniz.

Eşkenar Üçgen

Üç kenarı da eşit (her açısı 60°) olan üçgene eşkenar üçgen denir. Kenar uzunluğu a olsun.

Yükseklik (h): Eşkenar üçgende yükseklik, tabanı tam ortadan böler ve bir 30-60-90 üçgeni oluşturur.

h = (a√3) / 2

Alan (A):

A = (a²√3) / 4

Bu iki formül çok sık sorulur; ezberlenmelidir.

İkizkenar Üçgen

İki kenarı eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. Eşit kenarların karşısındaki açılar (taban açıları) da birbirine eşittir.

Önemli özellik: Tepe açısından tabana indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır. Yani yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler. Bu sayede ikizkenar üçgen, ikiye bölünerek iki eş dik üçgene ayrılır ve Pisagor uygulanabilir.

Eşit kenarlar a, taban b ise tabana inen yükseklik:

h = √(a² − (b/2)²)

Öklid (Öklit) Bağıntıları — Dik Üçgende Yükseklik

Dik açıdan hipotenüse bir yükseklik (h) indirildiğinde hipotenüs iki parçaya bölünür (p ve k). Aşağıdaki şekli düşünün: dik açının köşesinden hipotenüse h inmiş, hipotenüsü p ve k parçalarına ayırmış olsun.

Öklid bağıntıları:

1. Yükseklik bağıntısı: h² = p · k (Yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki iki parçanın çarpımına eşittir.)

2. Dik kenar bağıntıları: - (1. dik kenar)² = p · (p + k) → yani dik kenarın karesi = komşu parça × hipotenüs - (2. dik kenar)² = k · (p + k)

3. Alan eşitliği: Dik üçgenin alanı iki şekilde yazılır: - A = (dik kenar 1 × dik kenar 2) / 2 - A = (hipotenüs × h) / 2

Buradan: dik kenar 1 × dik kenar 2 = hipotenüs × h elde edilir. Bu, yüksekliği bulmanın en pratik yoludur.

Önemli Formüller ve Kurallar

Yaklaşık değerler (gerektiğinde): √2 ≈ 1,41 ve √3 ≈ 1,73.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgenin hipotenüsü kaç cm'dir?

Çözüm: Pisagor bağıntısını uygulayalım: c² = a² + b² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Buradan c = √100 = 10. Not: 6-8-10, 3-4-5 üçlüsünün 2 katıdır; üçlüyü bilseydik doğrudan 10 derdik.

Sonuç: 10 cm

Örnek 2:

Hipotenüsü 13 cm, bir dik kenarı 5 cm olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaç cm'dir?

Çözüm: a² = c² − b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. a = √144 = 12. Bu, 5-12-13 Pisagor üçlüsüdür.

Sonuç: 12 cm

Örnek 3:

Bir 30-60-90 üçgeninde hipotenüs 10 cm olduğuna göre, 30°'nin karşısındaki kenar kaç cm'dir?

Çözüm: Oran: x (30° karşısı) : x√3 (60° karşısı) : 2x (hipotenüs). Hipotenüs = 2x = 10 → x = 5. 30°'nin karşısındaki kenar x = 5'tir (hipotenüsün yarısı).

Sonuç: 5 cm

Örnek 4:

Bir 30-60-90 üçgeninde 30°'nin karşısındaki kenar 4 cm ise, 60°'nin karşısındaki kenar kaç cm'dir?

Çözüm: 30° karşısı = x = 4. 60° karşısı = x√3 = 4√3.

Sonuç: 4√3 cm

Örnek 5:

İkizkenar dik üçgenin (45-45-90) dik kenarı 7 cm ise hipotenüsü kaç cm'dir?

Çözüm: 45-45-90 oranı: x : x : x√2. Dik kenar x = 7 olduğundan hipotenüs = x√2 = 7√2.

Sonuç: 7√2 cm

Örnek 6:

Bir kenarı 6 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği ve alanı kaç cm ve cm²'dir?

Çözüm: Yükseklik: h = (a√3)/2 = (6√3)/2 = 3√3 cm. Alan: A = (a²√3)/4 = (36√3)/4 = 9√3 cm².

Sonuç: Yükseklik 3√3 cm, Alan 9√3 cm²

Örnek 7:

Eşit kenarları 10 cm, tabanı 12 cm olan ikizkenar üçgenin tabana inen yüksekliği kaç cm'dir?

Çözüm: Yükseklik tabanı ortadan böler; oluşan dik üçgenin dik kenarları h ve 12/2 = 6, hipotenüsü 10'dur. h = √(a² − (b/2)²) = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8. (6-8-10 üçlüsü.)

Sonuç: 8 cm

Örnek 8:

Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgende, dik açıdan hipotenüse inen yükseklik kaç cm'dir?

Çözüm: Önce hipotenüs: c = √(6² + 8²) = √100 = 10. Alan eşitliğini kullanalım: dik kenar 1 × dik kenar 2 = hipotenüs × h. 6 × 8 = 10 × h → 48 = 10h → h = 4,8 cm.

Sonuç: 4,8 cm

Örnek 9:

Bir dik üçgende, dik açıdan inen yükseklik hipotenüsü 4 cm ve 9 cm uzunluğunda iki parçaya bölmektedir. Bu yükseklik kaç cm'dir?

Çözüm: Öklid yükseklik bağıntısı: h² = p · k = 4 · 9 = 36. h = √36 = 6.

Sonuç: 6 cm

Örnek 10:

Yukarıdaki örnekteki (Örnek 9) dik üçgende, 4 cm'lik parçaya komşu olan dik kenar kaç cm'dir?

Çözüm: Hipotenüs = p + k = 4 + 9 = 13. Öklid dik kenar bağıntısı: (dik kenar)² = (komşu parça) × (hipotenüs) = 4 × 13 = 52. Dik kenar = √52 = √(4·13) = 2√13 cm.

Sonuç: 2√13 cm