Cokgenler ve Dortgenler — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Çokgenler (Genel Kavramlar)

Bir çokgen, kenar sayısına göre adlandırılır: - 3 kenar: üçgen - 4 kenar: dörtgen - 5 kenar: beşgen - 6 kenar: altıgen - n kenar: n-gen

Bir çokgenin n tane kenarı, n tane köşesi ve n tane iç açısı vardır.

İç açılar toplamı: Kenar sayısı n olan bir çokgenin iç açılarının toplamı:

İç açılar toplamı = (n − 2) · 180°

Bu formül, çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerle (n − 2) tane üçgene bölünmesinden gelir. Her üçgenin iç açı toplamı 180° olduğundan, toplam (n − 2)·180° olur.

Örneğin: - Üçgen (n = 3): (3 − 2)·180° = 180° - Dörtgen (n = 4): (4 − 2)·180° = 360° - Beşgen (n = 5): (5 − 2)·180° = 540° - Altıgen (n = 6): (6 − 2)·180° = 720°

Dış açılar toplamı: Her çokgende, kenar sayısına bağlı OLMAKSIZIN, dış açıların toplamı her zaman 360°'dir.

Dış açılar toplamı = 360°

(Bir iç açı ile onun komşu dış açısı bütünlerdir, yani toplamları 180°'dir.)

Köşegen sayısı: Bir köşegen, ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Kenar sayısı n olan çokgende köşegen sayısı:

Köşegen sayısı = n·(n − 3) / 2

Örneğin altıgende (n = 6): 6·(6 − 3)/2 = 6·3/2 = 9 köşegen vardır.

Düzgün Çokgenler

Bütün kenar uzunlukları eşit ve bütün iç açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir (örnek: eşkenar üçgen, kare, düzgün altıgen).

Düzgün bir çokgende bir iç açının ölçüsü:

Bir iç açı = (n − 2)·180° / n

Bir dış açının ölçüsü:

Bir dış açı = 360° / n

Örneğin düzgün altıgende bir iç açı: (6 − 2)·180°/6 = 720°/6 = 120°.

Dörtgenler

Dört kenarı olan çokgenlere dörtgen denir. Her dörtgenin iç açılarının toplamı 360°'dir. Aşağıda temel dörtgen türlerini inceleyeceğiz. Bu türler arasında bir hiyerarşi vardır: kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir; dikdörtgen ve eşkenar dörtgen birer paralelkenardır. (Not: Bu kaynakta yamuk, yalnızca bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgen olarak tanımlandığından paralelkenar bir yamuk sayılmaz.)

Kare

• Dört kenarı da eşit, dört açısı da 90°'dir.
• Karşılıklı kenarları paraleldir.
• Köşegenleri birbirine eşit, dik ve birbirini ortalar.
• Köşegenler aynı zamanda açıortaydır (köşeleri 45°+45° olarak böler).

Kenar uzunluğu a ise:

Çevre = 4a
Alan  = a²
Köşegen = a√2

Dikdörtgen

• Karşılıklı kenarları eşit ve paraleldir.
• Dört açısı da 90°'dir.
• Köşegenleri birbirine eşittir ve birbirini ortalar (ama dik değildir).

Kenarları a ve b ise:

Çevre = 2·(a + b)
Alan  = a · b
Köşegen = √(a² + b²)

Paralelkenar

• Karşılıklı kenarları eşit ve paraleldir.
• Karşılıklı açıları eşittir; ardışık (komşu) açıları bütünlerdir (toplamları 180°).
• Köşegenleri birbirini ortalar (ama eşit ve dik değildir).

Tabanı a, bu tabana ait yüksekliği h ise:

Çevre = 2·(a + b)   (a ve b komşu iki kenar)
Alan  = taban · yükseklik = a · h

Komşu kenarları a, b ve aralarındaki açı α ise alan: a·b·sin α.

Eşkenar Dörtgen (Rhombus)

• Dört kenarı da eşittir (eşit kenarlı paralelkenardır).
• Karşılıklı kenarları paraleldir, karşılıklı açıları eşittir.
• Köşegenleri birbirini dik olarak ortalar.
• Köşegenleri açıortaydır.

Kenarı a, köşegenleri e ve f ise:

Çevre = 4a
Alan  = (e · f) / 2

Alan ayrıca taban · yükseklik (a · h) şeklinde de hesaplanabilir.

Yamuk

• Sadece bir çift karşılıklı kenarı paraleldir (bu paralel kenarlara taban denir).
• Paralel olmayan kenarlara yan kenar denir.
• İkizkenar yamuk: yan kenarları eşit olan yamuktur; taban açıları eşittir, köşegenleri eşittir.
• Dik yamuk: yan kenarlarından biri tabanlara diktir.

Paralel kenarları (tabanları) a ve c, yükseklik h ise:

Alan = ((a + c) / 2) · h

Yamukta orta taban (paralel kenarların orta noktalarını birleştiren doğru), tabanların uzunluklarının aritmetik ortalamasıdır: (a + c)/2.

Deltoid (Uçurtma)

• İki çift ardışık (komşu) kenarı eşit olan dörtgendir.
• Köşegenlerinden biri (simetri ekseni olan), diğerini dik olarak ortalar.
• Bir çift karşılıklı açısı eşittir.

Köşegenleri e ve f ise:

Alan = (e · f) / 2

(Eşkenar dörtgen, aslında özel bir deltoiddir; köşegen çarpımının yarısı kuralı her ikisinde de geçerlidir.)

Önemli Formüller ve Kurallar

Çokgen genel formülleri:

Dörtgenlerin alan ve çevre formülleri:

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Bir düzgün çokgenin bir iç açısı 144°'dir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?

Çözüm: Düzgün çokgende dış açı = 180° − iç açı = 180° − 144° = 36°. Dış açılar toplamı 360° olduğundan, kenar sayısı: n = 360° / 36° = 10. Sonuç: Çokgen 10 kenarlıdır (düzgün ongen).

Örnek 2: Bir çokgenin iç açılar toplamı 1080°'dir. Bu çokgenin kaç köşegeni vardır?

Çözüm: İç açılar toplamı: (n − 2)·180° = 1080° n − 2 = 1080 / 180 = 6, dolayısıyla n = 8 (sekizgen). Köşegen sayısı: n·(n − 3)/2 = 8·(8 − 3)/2 = 8·5/2 = 20. Sonuç: 20 köşegen vardır.

Örnek 3: Kenar uzunluğu 6 cm olan bir karenin köşegen uzunluğu ve alanı kaçtır?

Çözüm: Köşegen = a√2 = 6√2 cm. Alan = a² = 6² = 36 cm². Sonuç: Köşegen 6√2 cm, alan 36 cm²'dir.

Örnek 4: Bir dikdörtgenin kısa kenarı 5 cm, köşegeni 13 cm'dir. Bu dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Köşegen = √(a² + b²) ilişkisini kullanalım. a = 5, köşegen = 13: 13² = 5² + b² → 169 = 25 + b² → b² = 144 → b = 12 cm. Alan = a · b = 5 · 12 = 60 cm². Sonuç: Alan 60 cm²'dir. (5-12-13 dik üçgen üçlüsü.)

Örnek 5: Köşegen uzunlukları 8 cm ve 6 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı ve çevresi kaçtır?

Çözüm: Alan = (e · f)/2 = (8 · 6)/2 = 48/2 = 24 cm². Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortaladığından, kenar yarım köşegenlerle dik üçgen oluşturur: Kenar a = √((8/2)² + (6/2)²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 cm. Çevre = 4a = 4 · 5 = 20 cm. Sonuç: Alan 24 cm², çevre 20 cm'dir.

Örnek 6: Bir yamuğun paralel kenarları 10 cm ve 14 cm, yüksekliği 6 cm'dir. Bu yamuğun alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Alan = ((a + c)/2) · h = ((10 + 14)/2) · 6 = (24/2) · 6 = 12 · 6 = 72 cm². Sonuç: Alan 72 cm²'dir.

Örnek 7: Bir paralelkenarın komşu iki kenarı 8 cm ve 6 cm, aralarındaki açı 30°'dir. Bu paralelkenarın alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Alan = a · b · sin α = 8 · 6 · sin 30° = 48 · (1/2) = 24 cm². Sonuç: Alan 24 cm²'dir.

Örnek 8: Bir deltoidin köşegenleri 12 cm ve 9 cm'dir. Deltoidin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Deltoidde alan = (e · f)/2 = (12 · 9)/2 = 108/2 = 54 cm². Sonuç: Alan 54 cm²'dir.

Örnek 9: Bir paralelkenarda bir iç açı 70°'dir. Diğer üç açının ölçüleri nelerdir?

Çözüm: Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit, komşu açılar bütünlerdir. Verilen açı 70° ise karşısındaki açı da 70°'dir. Komşu açı = 180° − 70° = 110°, onun karşısındaki açı da 110°'dir. Sonuç: Açılar 70°, 110°, 70°, 110°'dir.

Örnek 10: Bir düzgün altıgenin iç açılar toplamı ile dış açılar toplamının farkı kaç derecedir?

Çözüm: İç açılar toplamı: (6 − 2)·180° = 4·180° = 720°. Dış açılar toplamı: 360°. Fark = 720° − 360° = 360°. Sonuç: Fark 360°'dir.

Örnek 11 (Boyalı bölge): Kenar uzunluğu 8 birim olan ABCD karesinde E, [BC] kenarının orta noktasıdır. Buna göre, boyalı AED üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Çözüm (çıkarma yöntemi): Boyalı alan = Kare − (ABE üçgeni) − (DCE üçgeni). Kare alanı = 8² = 64. E orta nokta olduğundan |BE| = |CE| = 4. - ABE üçgeni: (1/2)·|AB|·|BE| = (1/2)·8·4 = 16 - DCE üçgeni: (1/2)·|DC|·|CE| = (1/2)·8·4 = 16

Boyalı alan = 64 − 16 − 16 = 32 birimkare.

Püf: "Boyalı bölge" sorularında çoğu zaman boyalı şekli doğrudan hesaplamak yerine, tüm şekilden boyasız parçaları çıkarmak daha hızlıdır.