Cember ve Daire — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Çember ve Daire Kavramı

Çember: Bir düzlemde, sabit bir noktadan (merkez) eşit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu kapalı eğridir. Çember yalnızca bir kenar çizgisidir; içi boştur.

Daire: Çember ile çemberin içinde kalan bölgenin tamamıdır. Yani daire dolu bir bölgedir (alanı vardır).

Kısacası: - Çember → sadece çizgi (uzunluğu/çevresi vardır). - Daire → çizgi + içi (alanı vardır).

Temel elemanlar: - Merkez (O): Çemberin tüm noktalarına eşit uzaklıktaki sabit nokta. - Yarıçap (r): Merkezi çember üzerindeki herhangi bir noktaya birleştiren doğru parçası. - Çap (d): Merkezden geçerek çemberi iki noktada kesen doğru parçası. Çap, yarıçapın iki katıdır: d = 2r.

Kiriş, Yay ve Teğet

• Kiriş: Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır. En uzun kiriş çaptır.
• Yay: Çember üzerinde iki nokta arasında kalan eğri parçasıdır. Bir kirişin iki yanında küçük yay ve büyük yay bulunur. Tüm çember 360°'lik yaydır.
• Teğet: Çembere yalnızca tek noktada dokunan doğrudur. Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir (90°).
• Kesen: Çemberi iki noktada kesen doğrudur.

Önemli kural: Bir dış noktadan çembere çizilen iki teğetin uzunlukları birbirine eşittir.

Merkez Açı ve Yay İlişkisi

Merkez açı: Köşesi çemberin merkezinde olan açıdır. Bir merkez açının ölçüsü, gördüğü (karşısındaki) yayın ölçüsüne eşittir.

Eğer merkez açı α derece ise, gördüğü yay da α derecedir.

Tüm çember 360° olduğundan, merkez açıların toplamı 360°'dir.

Çevre Açı (Çevresel Açı) ve Yay İlişkisi

Çevre açı: Köşesi çember üzerinde olan açıdır. Bir çevre açı, gördüğü yayın yarısına eşittir.

Eğer çevre açı β ise, gördüğü yay 2β'dır.

Merkez açı – çevre açı ilişkisi: Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır.

Merkez açı = 2 × Çevre açı (aynı yayı görüyorlarsa)

Önemli sonuçlar: - Çapı gören çevre açı 90°'dir. (Çap 180°'lik yay görür, çevre açı yarısı = 90°.) Bu, "Thales teoremi" olarak da bilinir. - Aynı yayı gören tüm çevre açılar birbirine eşittir.

Kiriş–Teğet Açısı

Köşesi çember üzerinde olan, bir kenarı kiriş, diğer kenarı teğet olan açıya kiriş-teğet açısı denir. Bu açının ölçüsü, gördüğü yayın yarısına eşittir (çevre açı ile aynı mantık).

Kiriş-teğet açısı = (gördüğü yay) / 2

Çemberde Kirişlerin ve Kesenlerin Kuvveti

Bir noktadan geçen doğruların çemberi kestiği parçalar arasında sabit bir çarpım ilişkisi vardır.

İki kirişin kesişmesi (iç nokta): Çemberin içindeki bir P noktasında kesişen iki kiriş, parçalara ayrılır. Karşılıklı parçaların çarpımları eşittir:

|PA| · |PB| = |PC| · |PD|

Dış noktadan iki kesen: Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen iki kesen için, her kesenin (dış parça) × (tüm uzunluk) çarpımları eşittir. Biri teğet ise, teğet uzunluğunun karesi bu çarpıma eşittir: |PT|² = |PA| · |PB|.

Çemberin Çevresi

Yarıçapı r olan çemberin çevresi:

Çevre = 2 · π · r = π · d

Burada π (pi) ≈ 3,14 (yaklaşık 22/7) sabit bir sayıdır. ALES sorularında genellikle sonuç π cinsinden bırakılır.

Dairenin Alanı

Yarıçapı r olan dairenin alanı:

Alan = π · r²

Daire Dilimi (Sektör): Yay Uzunluğu ve Dilim Alanı

Bir dairenin merkez açısı α derece olan diliminde (sektöründe):

Yay uzunluğu (dilimin yayının uzunluğu):

Yay uzunluğu = 2 · π · r · (α / 360)

Dilim (sektör) alanı:

Dilim alanı = π · r² · (α / 360)

Buradaki mantık şudur: Tüm çember 360°'dir. Dilim, çemberin (α/360) kadarlık bir kısmıdır. Bu yüzden hem çevreyi hem alanı bu orana göre paylaştırırız.

Daire dilimi çevresi: İki yarıçap + yay uzunluğu = 2r + 2πr·(α/360).

Önemli Formüller ve Kurallar

Hatırlatmalar: - Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir (90°). - Dış noktadan çizilen iki teğet eşit uzunluktadır. - En uzun kiriş çaptır. - Alanda r kareli (r²), çevrede r birinci derecedendir (r). Bunu karıştırmayın. - Çeyrek daire 90°, yarım daire 180°'dir.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Çevre Hesabı

Yarıçapı 7 cm olan bir çemberin çevresi kaç cm'dir? (π yerine yaklaşık 22/7 alınız.)

Çözüm: Adım 1: Çevre formülü: Ç = 2πr. Adım 2: Değerleri yerine yazalım: Ç = 2 · (22/7) · 7. Adım 3: 7'ler sadeleşir: Ç = 2 · 22 = 44.

Sonuç: Çevre = 44 cm.

Örnek 2: Alan Hesabı

Çapı 10 cm olan bir dairenin alanı kaç cm²'dir? (π cinsinden bırakınız.)

Çözüm: Adım 1: Çap 10 ise yarıçap r = 10/2 = 5 cm. Adım 2: Alan formülü: A = πr². Adım 3: A = π · 5² = 25π.

Sonuç: Alan = 25π cm².

Örnek 3: Alandan Yarıçap Bulma

Bir dairenin alanı 36π cm²'dir. Bu dairenin çevresi kaç cm'dir?

Çözüm: Adım 1: Alan = πr² = 36π → r² = 36 → r = 6 cm. Adım 2: Çevre = 2πr = 2 · π · 6 = 12π.

Sonuç: Çevre = 12π cm.

Örnek 4: Merkez Açı – Çevre Açı İlişkisi

Bir çemberde, bir yayı gören çevre açı 35°'dir. Aynı yayı gören merkez açı kaç derecedir?

Çözüm: Adım 1: Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır. Adım 2: Merkez açı = 2 × 35° = 70°.

Sonuç: Merkez açı = 70°.

Örnek 5: Çapı Gören Açı (Thales)

Bir çemberde [AB] çaptır. C noktası çember üzerinde bir nokta olduğuna göre, ACB açısı kaç derecedir?

Çözüm: Adım 1: Çap, 180°'lik bir yay görür. Adım 2: Köşesi çember üzerinde olan ACB bir çevre açıdır ve çapı görür. Adım 3: Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır: 180° / 2 = 90°.

Sonuç: ACB = 90°.

Örnek 6: Daire Dilimi Alanı

Yarıçapı 6 cm olan bir dairenin, merkez açısı 60° olan diliminin alanı kaç cm²'dir? (π cinsinden)

Çözüm: Adım 1: Dilim alanı = πr² · (α/360). Adım 2: α = 60°, r = 6 → Dilim alanı = π · 6² · (60/360). Adım 3: = π · 36 · (1/6) = 6π.

Sonuç: Dilim alanı = 6π cm².

Örnek 7: Yay Uzunluğu

Yarıçapı 9 cm olan bir çemberde, merkez açısı 120° olan yayın uzunluğu kaç cm'dir? (π cinsinden)

Çözüm: Adım 1: Yay uzunluğu = 2πr · (α/360). Adım 2: r = 9, α = 120° → Yay = 2 · π · 9 · (120/360). Adım 3: = 18π · (1/3) = 6π.

Sonuç: Yay uzunluğu = 6π cm.

Örnek 8: Çeyrek Daire Çevresi

Yarıçapı 4 cm olan bir çeyrek dairenin (90°'lik dilim) çevresi kaç cm'dir? (π cinsinden)

Çözüm: Adım 1: Dilim çevresi = iki yarıçap + yay uzunluğu. Adım 2: İki yarıçap = 2 · 4 = 8 cm. Adım 3: Yay uzunluğu = 2πr · (90/360) = 2 · π · 4 · (1/4) = 2π. Adım 4: Toplam çevre = 8 + 2π.

Sonuç: Çevre = (8 + 2π) cm.

Örnek 9: Teğet ve Yarıçap Dikliği

Bir çembere O merkezli, dışındaki bir P noktasından çizilen teğetin değme noktası A'dır. OA = 6 cm ve PA = 8 cm olduğuna göre OP uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Adım 1: Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. Yani OAP açısı 90°'dir. Adım 2: OAP dik üçgeninde Pisagor uygulayalım: OP² = OA² + PA². Adım 3: OP² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → OP = 10.

Sonuç: OP = 10 cm.

Örnek 10: Taralı Alan (Daire – Dilim)

Yarıçapı 10 cm olan bir dairenin, merkez açısı 90° olan dilimi çıkarılıyor. Geriye kalan bölgenin alanı kaç cm²'dir? (π cinsinden)

Çözüm: Adım 1: Tüm dairenin alanı = πr² = π · 10² = 100π. Adım 2: Çıkarılan 90°'lik dilim = 100π · (90/360) = 100π · (1/4) = 25π. Adım 3: Kalan alan = 100π − 25π = 75π.

Sonuç: Kalan alan = 75π cm².