Analitik Geometri — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Koordinat Düzlemi

Koordinat düzlemi, birbirine dik iki sayı doğrusunun (eksenin) kesişmesiyle oluşur:

• x ekseni (apsis ekseni): Yatay eksendir.
• y ekseni (ordinat ekseni): Dikey eksendir.
• Orijin (başlangıç noktası): İki eksenin kesiştiği nokta olup (0, 0) ile gösterilir.

Düzlemdeki her nokta bir sıralı ikili (x, y) ile gösterilir. Burada x noktanın apsisi (yatay konumu), y ise ordinatıdır (dikey konumu).

Koordinat düzlemi dört bölgeye (kadran/bölge) ayrılır:

Özel durumlar: - x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır: (a, 0) - y ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfırdır: (0, b)

İki Nokta Arası Uzaklık

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık, Pisagor teoreminden türetilir:

|AB| = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

Karelerin içindeki farkların sırası önemli değildir, çünkü kare alındığında işaret kaybolur. Yani (x₂ − x₁)² = (x₁ − x₂)²'dir.

Orta Nokta (Orta Noktanın Koordinatları)

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası O, koordinatların ortalaması alınarak bulunur:

O = ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 )

Orta nokta, doğru parçasını iki eşit parçaya böler.

Doğrunun Eğimi

Eğim (m), bir doğrunun yatayla yaptığı eğikliği gösteren sayıdır. İki nokta verildiğinde:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) (x₁ ≠ x₂)

Eğim, "dikey değişim / yatay değişim" yani "Δy / Δx" olarak da düşünülebilir.

Eğimin yorumu: - m > 0 ise doğru soldan sağa yükselir (artan doğru). - m < 0 ise doğru soldan sağa alçalır (azalan doğru). - m = 0 ise doğru yataydır (x eksenine paralel). - m tanımsız ise doğru dikeydir (y eksenine paralel, x = a biçiminde).

Doğru Denklemi (y = mx + n)

Bir doğrunun denklemi en yaygın olarak eğim-kesim biçiminde yazılır:

y = mx + n

• m: doğrunun eğimi
• n: doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı (y kesim noktası)

Eğer doğru üzerinde bir nokta (x₀, y₀) ve eğim m biliniyorsa, noktasal denklem kullanılır:

y − y₀ = m(x − x₀)

Genel doğru denklemi ax + by + c = 0 biçimindedir. Bu denklemin eğimi:

m = −a / b

Paralel ve Dik Doğruların Eğim İlişkisi

İki doğru d₁ ve d₂ eğimleri sırasıyla m₁ ve m₂ olsun:

• Paralel doğrular: Eğimleri eşittir → m₁ = m₂
• Dik (kesişen) doğrular: Eğimleri çarpımı −1'dir → m₁ · m₂ = −1

Dik doğrular için pratik kural: bir doğrunun eğimi m ise, ona dik doğrunun eğimi −1/m'dir (eğimin ters işaretli çarpmaya göre tersi).

Eksenleri Kesim Noktaları

Bir doğrunun eksenleri kestiği noktalar:

• x eksenini kestiği nokta: y = 0 yazılır, x bulunur. Nokta (x, 0) biçimindedir.
• y eksenini kestiği nokta: x = 0 yazılır, y bulunur. Nokta (0, y) biçimindedir.

y = mx + n denkleminde y kesim noktası doğrudan (0, n)'dir.

Bir Noktanın Doğruya ve Eksenlere Uzaklığı

Eksenlere uzaklık: Bir P(a, b) noktasının: - x eksenine uzaklığı: |b| (ordinatın mutlak değeri) - y eksenine uzaklığı: |a| (apsisin mutlak değeri)

Doğruya uzaklık: ax + by + c = 0 doğrusunun P(x₀, y₀) noktasına uzaklığı:

d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²)

Üçgenin Ağırlık Merkezi

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve C(x₃, y₃) köşelerine sahip bir üçgenin ağırlık merkezi G (kenarortayların kesişim noktası), köşe koordinatlarının ortalamasıdır:

G = ( (x₁ + x₂ + x₃)/3 , (y₁ + y₂ + y₃)/3 )

Koordinatlarla Üçgenin Alanı

Köşeleri A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) olan bir üçgenin alanı, köşe koordinatlarından doğrudan hesaplanabilir:

Alan = ½ · |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|

Mutlak değer, alanın daima pozitif çıkmasını sağlar. Bu formül özellikle köşeleri eksenler üzerinde olmayan üçgenlerde işe yarar.

Kolay durum: Bir kenarı eksene paralel (ya da üzerinde) ise, o kenarı taban, dik uzaklığı yükseklik alıp Alan = (taban · yükseklik)/2 ile daha hızlı çözebilirsiniz.

Önemli Formüller ve Kurallar

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: İki Nokta Arası Uzaklık

A(1, 2) ve B(4, 6) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm:

Uzaklık formülünü uygulayalım:

|AB| = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

x farkı: 4 − 1 = 3 y farkı: 6 − 2 = 4

|AB| = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5

Sonuç: |AB| = 5 birim.

Örnek 2: Orta Nokta

A(−2, 5) ve B(6, −1) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasının koordinatları nedir?

Çözüm:

Orta nokta formülü:

O = ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 )

x koordinatı: (−2 + 6)/2 = 4/2 = 2 y koordinatı: (5 + (−1))/2 = 4/2 = 2

Sonuç: Orta nokta (2, 2)'dir.

Örnek 3: Doğrunun Eğimi

A(2, 3) ve B(5, 9) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Çözüm:

Eğim formülü:

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

m = (9 − 3)/(5 − 2) = 6/3 = 2

Sonuç: Eğim m = 2'dir. Eğim pozitif olduğu için doğru soldan sağa yükselir.

Örnek 4: Doğru Denklemi Yazma

Eğimi 3 olan ve (1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

Çözüm:

Noktasal denklem formülü:

y − y₀ = m(x − x₀)

y − 4 = 3(x − 1) y − 4 = 3x − 3 y = 3x − 3 + 4 y = 3x + 1

Sonuç: Doğru denklemi y = 3x + 1'dir. (Eğim 3, y kesimi 1)

Örnek 5: Paralel Doğru

y = 2x + 5 doğrusuna paralel olan ve (3, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

Çözüm:

Paralel doğruların eğimleri eşittir. Verilen doğrunun eğimi m = 2'dir, dolayısıyla aranan doğrunun eğimi de 2'dir.

Noktasal denklem:

y − 1 = 2(x − 3) y − 1 = 2x − 6 y = 2x − 6 + 1 y = 2x − 5

Sonuç: Doğru denklemi y = 2x − 5'tir.

Örnek 6: Dik Doğru

y = (1/2)x + 4 doğrusuna dik olan ve (2, 5) noktasından geçen doğrunun eğimi ve denklemi nedir?

Çözüm:

Verilen doğrunun eğimi m₁ = 1/2'dir. Dik doğrular için m₁ · m₂ = −1 olmalıdır:

(1/2) · m₂ = −1 → m₂ = −2

Şimdi noktasal denklem ile yazalım:

y − 5 = −2(x − 2) y − 5 = −2x + 4 y = −2x + 9

Sonuç: Dik doğrunun eğimi −2, denklemi y = −2x + 9'dur.

Örnek 7: Eksenleri Kesim Noktaları

2x + 3y − 12 = 0 doğrusu eksenleri hangi noktalarda keser?

Çözüm:

x eksenini kesim (y = 0): 2x + 3·0 − 12 = 0 2x = 12 → x = 6 Kesim noktası: (6, 0)

y eksenini kesim (x = 0): 2·0 + 3y − 12 = 0 3y = 12 → y = 4 Kesim noktası: (0, 4)

Sonuç: Doğru x eksenini (6, 0)'da, y eksenini (0, 4)'te keser.

Örnek 8: Üçgenin Ağırlık Merkezi

Köşeleri A(1, 2), B(5, 4) ve C(3, 9) olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları nedir?

Çözüm:

Ağırlık merkezi formülü:

G = ( (x₁ + x₂ + x₃)/3 , (y₁ + y₂ + y₃)/3 )

x koordinatı: (1 + 5 + 3)/3 = 9/3 = 3 y koordinatı: (2 + 4 + 9)/3 = 15/3 = 5

Sonuç: Ağırlık merkezi G(3, 5)'tir.

Örnek 9: Noktanın Doğruya Uzaklığı

P(1, 2) noktasının 3x + 4y − 1 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

Çözüm:

Noktanın doğruya uzaklığı formülü:

d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²)

Burada a = 3, b = 4, c = −1, x₀ = 1, y₀ = 2:

d = |3·1 + 4·2 − 1| / √(3² + 4²) d = |3 + 8 − 1| / √(9 + 16) d = |10| / √25 d = 10/5 = 2

Sonuç: Uzaklık d = 2 birimdir.

Örnek 10: Eksenlere Uzaklık ve Bölge

P(−4, 3) noktasının x eksenine ve y eksenine uzaklıkları kaçtır? Nokta hangi bölgededir?

Çözüm:

• x eksenine uzaklık = |ordinat| = |3| = 3
• y eksenine uzaklık = |apsis| = |−4| = 4

Apsis negatif (−4), ordinat pozitif (3) olduğu için nokta II. Bölgededir.

Sonuç: x eksenine uzaklık 3, y eksenine uzaklık 4; nokta II. Bölgededir.