Kati Cisimler — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Küp

Küp, bütün yüzleri eşit birer kare olan dik prizmadır. Tüm ayrıtları birbirine eşittir.

Bir ayrıtının uzunluğu a olsun:

• Hacim: V = a³
• Yüzey Alanı: S = 6 · a² (6 tane eş kare yüzü vardır)
• Cisim Köşegeni (en uzun köşegen): e = a · √3
• Yüzey Köşegeni: f = a · √2

Eleman sayıları: - Yüz sayısı: 6 - Ayrıt (kenar) sayısı: 12 - Köşe sayısı: 8

Açınım mantığı: Küpü açtığımızda yan yana ve alta-üste dizilmiş 6 eş kare elde ederiz (artı + işareti gibi düşünülebilir). Bu yüzden yüzey alanı 6 · a² olur.

2. Dikdörtgenler Prizması (Kutu)

Tüm yüzleri dikdörtgen olan prizmadır. Boyutları a (en), b (boy), c (yükseklik) olsun:

• Hacim: V = a · b · c
• Yüzey Alanı: S = 2 · (a·b + b·c + a·c)
• Cisim Köşegeni: e = √(a² + b² + c²)

Eleman sayıları (küp ile aynı): - Yüz sayısı: 6 - Ayrıt sayısı: 12 - Köşe sayısı: 8

Açınım mantığı: Karşılıklı yüzler eştir; 3 farklı boyutta ikişer dikdörtgen vardır. Bu yüzden yüzey alanında her çarpım 2 ile çarpılır.

3. Kare Prizma (Dikdörtgen Prizmanın Özel Hali)

Tabanı kare, yüksekliği farklı olan prizmadır. Taban ayrıtı a, yükseklik h olsun:

• Hacim: V = a² · h
• Yüzey Alanı: S = 2 · a² + 4 · a · h (2 kare taban + 4 dikdörtgen yan yüz)

4. Üçgen Prizma

Tabanları eş ve birbirine paralel iki üçgen, yan yüzleri dikdörtgen olan prizmadır.

Taban alanı T, taban çevresi Ç, yükseklik (prizmanın boyu) h olsun:

• Hacim: V = T · h
• Yan Yüz Alanı: Yan Alan = Ç · h
• Yüzey Alanı: S = 2 · T + Ç · h

Eleman sayıları: - Yüz sayısı: 5 (2 üçgen taban + 3 dikdörtgen yan yüz) - Ayrıt sayısı: 9 - Köşe sayısı: 6

Açınım mantığı: Üçgen prizmayı açarsak ortada üç dikdörtgen yan yan dizilir (toplam çevre uzunluğunda), alt ve üstte birer üçgen taban bulunur.

Genel Prizma Kuralı: Her dik prizmada Hacim = Taban Alanı × Yükseklik ve Yan Alan = Taban Çevresi × Yükseklik geçerlidir.

5. Silindir (Dik Dairesel Silindir)

Tabanları eş ve paralel iki daire olan cisimdir. Taban yarıçapı r, yükseklik h olsun:

• Hacim: V = π · r² · h
• Yan Yüz Alanı (Açık silindir): Yan Alan = 2 · π · r · h
• Yüzey Alanı (kapalı): S = 2 · π · r² + 2 · π · r · h = 2 · π · r · (r + h)

Açınım mantığı: Silindirin yan yüzeyini açtığımızda bir dikdörtgen elde ederiz. Bu dikdörtgenin bir kenarı yükseklik (h), diğer kenarı taban çevresidir (2·π·r). Bu yüzden yan alan = 2·π·r·h olur. Alt ve üst kapaklar ise birer dairedir (her biri π·r²).

6. Piramit

Tabanı bir çokgen, yan yüzleri ortak bir tepe noktasında birleşen üçgenler olan cisimdir.

Taban alanı T, piramidin yüksekliği h olsun:

• Hacim: V = (1/3) · T · h (Aynı tabana ve yüksekliğe sahip prizmanın hacminin 1/3'ü)

Kare Piramit (düzgün): Taban ayrıtı a, yan yüz yüksekliği (apotem) ℓ:

• Hacim: V = (1/3) · a² · h
• Yan Alan: Yan Alan = (1/2) · Taban Çevresi · ℓ = 2 · a · ℓ
• Yüzey Alanı: S = a² + 2 · a · ℓ

Önemli ilişki (kare piramit): Yan yüz yüksekliği ℓ ile cismin yüksekliği h arasında: ℓ² = h² + (a/2)² (apotem üçgeni).

Eleman sayıları (kare piramit): - Yüz sayısı: 5 (1 kare taban + 4 üçgen yan yüz) - Ayrıt sayısı: 8 - Köşe sayısı: 5

Açınım mantığı: Piramidi açarsak ortada taban çokgeni, kenarlarına bağlı üçgen yan yüzler bulunur.

7. Koni (Dik Dairesel Koni)

Tabanı bir daire, tepe noktasında birleşen bir cisimdir. Taban yarıçapı r, yükseklik h, yan ayrıt (yatay/ana doğru) ℓ olsun:

• Yanal ayrıt ilişkisi: ℓ² = r² + h² (Pisagor)
• Hacim: V = (1/3) · π · r² · h (Aynı tabana ve yüksekliğe sahip silindirin 1/3'ü)
• Yan Alan: Yan Alan = π · r · ℓ
• Yüzey Alanı: S = π · r² + π · r · ℓ = π · r · (r + ℓ)

Açınım mantığı: Koninin yan yüzeyini açtığımızda bir daire dilimi (sektör) elde ederiz. Bu dilimin yarıçapı yan ayrıt ℓ, yay uzunluğu ise taban çevresi 2·π·r kadardır. Taban ise bir dairedir (π·r²).

8. Küre

Uzayda bir noktaya (merkeze) eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu cisimdir. Yarıçapı r olsun:

• Hacim: V = (4/3) · π · r³
• Yüzey Alanı: S = 4 · π · r²

Kürenin yüzü, ayrıtı, köşesi yoktur (yüzeyi tamamen eğridir, açınımı düzleme tam serilemez).

İlginç bilgi: Bir kürenin yüzey alanı (4·π·r²), kendisini çevreleyen silindirin yan yüzey alanına eşittir.

Önemli Formüller ve Kurallar

Hacim Formülleri:

Yüzey Alanı Formülleri:

Eleman Sayıları (Yüz - Ayrıt - Köşe):

Euler Formülü (çokyüzlüler için): Yüz + Köşe = Ayrıt + 2 → (Y + K = A + 2) Örnek küp için: 6 + 8 = 12 + 2 = 14 ✓

Kritik İlişkiler: - Koni: ℓ² = r² + h² - Kare piramit yan yüz yüksekliği: ℓ² = h² + (a/2)² - Küp cisim köşegeni: a·√3, yüzey köşegeni: a·√2 - Dikdörtgenler prizması cisim köşegeni: √(a² + b² + c²)

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Bir ayrıtı 5 cm olan küpün hacmi ve yüzey alanı kaç cm³ ve cm²'dir?

Çözüm: - Hacim: V = a³ = 5³ = 125 cm³ - Yüzey Alanı: S = 6 · a² = 6 · 5² = 6 · 25 = 150 cm²

Sonuç: Hacim = 125 cm³, Yüzey Alanı = 150 cm²

Örnek 2:

Boyutları 3 cm, 4 cm ve 12 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni kaç cm'dir?

Çözüm: Cisim köşegeni: e = √(a² + b² + c²) - e = √(3² + 4² + 12²) - e = √(9 + 16 + 144) - e = √169 = 13

Sonuç: Cisim köşegeni = 13 cm

Örnek 3:

Bir küpün yüzey alanı 96 cm²'dir. Bu küpün hacmi kaç cm³'tür?

Çözüm: Önce ayrıtı bulalım: - S = 6 · a² = 96 - a² = 96 / 6 = 16 - a = 4 cm

Şimdi hacmi bulalım: - V = a³ = 4³ = 64 cm³

Sonuç: Hacim = 64 cm³

Örnek 4:

Taban yarıçapı 3 cm, yüksekliği 10 cm olan bir silindirin hacmi kaç cm³'tür? (π yerine 3 alınız)

Çözüm: - V = π · r² · h - V = 3 · 3² · 10 - V = 3 · 9 · 10 - V = 270 cm³

Sonuç: Hacim = 270 cm³

Örnek 5:

Taban yarıçapı 6 cm, yüksekliği 8 cm olan bir koninin yüzey alanı kaç cm²'dir? (π yerine π sembolünü kullanınız)

Çözüm: Önce yan ayrıtı (ℓ) bulalım (Pisagor): - ℓ² = r² + h² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 - ℓ = 10 cm

Yüzey alanı: - S = π · r · (r + ℓ) = π · 6 · (6 + 10) = π · 6 · 16 = 96π cm²

Sonuç: Yüzey Alanı = 96π cm²

Örnek 6:

Taban ayrıtı 6 cm, yüksekliği 4 cm olan kare piramidin yüzey alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Önce yan yüz yüksekliğini (apotem, ℓ) bulalım: - ℓ² = h² + (a/2)² = 4² + (6/2)² = 16 + 9 = 25 - ℓ = 5 cm

Yüzey alanı: - S = a² + 2 · a · ℓ = 6² + 2 · 6 · 5 = 36 + 60 = 96 cm²

Sonuç: Yüzey Alanı = 96 cm²

Örnek 7:

Yarıçapı 3 cm olan bir kürenin hacmi ve yüzey alanı kaçtır?

Çözüm: - Hacim: V = (4/3) · π · r³ = (4/3) · π · 3³ = (4/3) · π · 27 = 36π cm³ - Yüzey Alanı: S = 4 · π · r² = 4 · π · 3² = 4 · π · 9 = 36π cm²

Sonuç: Hacim = 36π cm³, Yüzey Alanı = 36π cm²

Örnek 8:

Ayrıtı 4 cm olan bir küpün içine, tabanı küpün tabanıyla aynı ve tepe noktası küpün üst yüzünün merkezinde olan bir piramit yerleştiriliyor. Bu piramidin hacmi, küpün hacminin kaçta kaçıdır?

Çözüm: - Küpün hacmi: V_küp = a³ = 4³ = 64 cm³ - Piramidin tabanı kare (a = 4), yüksekliği küpün yüksekliği kadar (h = 4): - V_piramit = (1/3) · T · h = (1/3) · (4²) · 4 = (1/3) · 16 · 4 = 64/3 cm³

Oran: - V_piramit / V_küp = (64/3) / 64 = 1/3

Sonuç: Piramidin hacmi, küpün hacminin 1/3'üdür.

Örnek 9:

Bir dik üçgen prizmanın tabanı, dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgendir. Prizmanın yüksekliği 10 cm'dir. Bu prizmanın yüzey alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Taban dik üçgeninin hipotenüsü: - √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm

Taban alanı: - T = (1/2) · 6 · 8 = 24 cm²

Taban çevresi: - Ç = 6 + 8 + 10 = 24 cm

Yüzey alanı: - S = 2 · T + Ç · h = 2 · 24 + 24 · 10 = 48 + 240 = 288 cm²

Sonuç: Yüzey Alanı = 288 cm²

Örnek 10:

İçi su dolu, taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 9 cm olan bir silindir biçimindeki kaptaki su, taban yarıçapı 6 cm olan başka bir silindir kaba boşaltılıyor. İkinci kaptaki su yüksekliği kaç cm olur? (π her iki kapta da sadeleşir)

Çözüm: Su miktarı (hacim) korunur: - V₁ = π · 4² · 9 = π · 16 · 9 = 144π cm³

İkinci kaptaki yükseklik h olsun: - V₂ = π · 6² · h = 36π · h

Hacimler eşit: - 36π · h = 144π - h = 144 / 36 = 4 cm

Sonuç: Su yüksekliği = 4 cm