Ondalik Sayilar — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Temel Matematik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Ondalık Gösterim ve Basamak Adları

Ondalık bir sayı, bir tam kısım ve bir kesir (ondalık) kısımdan oluşur. Bu iki kısım virgül (,) ile ayrılır.

Örnek: 324,675 sayısında

• Virgülün solu tam kısım → 324
• Virgülün sağı ondalık (kesir) kısım → 675

Basamak değerleri:

  Yüzler  Onlar  Birler  ,  Onda1  Yüzde1  Binde1
    3       2      4      ,    6      7        5

• 3 → 300 (yüzler)
• 2 → 20 (onlar)
• 4 → 4 (birler)
• 6 → 6/10 (onda birler)
• 7 → 7/100 (yüzde birler)
• 5 → 5/1000 (binde birler)

Yani: 324,675 = 300 + 20 + 4 + 0,6 + 0,07 + 0,005

Not: Türkçe yazımda ondalık ayıracı virgül, binlik ayıracı nokta'dır (1.250,75). Uluslararası gösterimde bunun tersi kullanılır. ALES'te virgül ondalık ayıracıdır.

2. Ondalık Sayıyı Kesir Olarak Yazma

Ondalık kısımdaki basamak sayısı kadar sıfıra sahip 10'un kuvveti paydaya yazılır.

• 0,7 = 7/10 (1 basamak → payda 10)
• 0,45 = 45/100 (2 basamak → payda 100)
• 2,375 = 2375/1000 (3 basamak → payda 1000)

Sondaki sıfırlar değeri değiştirmez: 0,50 = 0,5 ve 3,4 = 3,40.

3. Ondalık Sayılarda Dört İşlem

Toplama ve Çıkarma: Sayılar virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır, gerekirse boş basamaklara sıfır eklenir, normal toplama/çıkarma yapılır, virgül aynı hizada aşağı indirilir.

   12,300
 +  4,075
 --------
   16,375

Çarpma: Virgülleri yok sayıp sayıları tam sayı gibi çarparız. Sonra iki çarpanın ondalık basamak sayılarını toplarız ve sonuçta sağdan o kadar basamak sayıp virgülü koyarız.

Örnek: 1,2 × 0,03 - 12 × 3 = 36 - Toplam ondalık basamak: 1 + 2 = 3 - Sonuç: 0,036

Bölme: Bölen tam sayı olana kadar bölen ve bölünenin virgülünü aynı sayıda sağa kaydırırız (yani ikisini de aynı 10'un kuvveti ile çarparız). Bu, bölme sonucunu değiştirmez.

Örnek: 4,8 ÷ 0,6 → her ikisini 10 ile çarp → 48 ÷ 6 = 8

4. Ondalık Sayıları Sıralama

1. Önce tam kısımları karşılaştır; büyük olan büyüktür.
2. Tam kısımlar eşitse, ondalık basamakları soldan sağa tek tek karşılaştır.
3. Kolaylık için ondalık basamak sayılarını sondaki sıfırlarla eşitle.

Örnek: 0,5 ; 0,45 ; 0,505 sıralaması - Eşitle: 0,500 ; 0,450 ; 0,505 - Tam kısım hep 0. Soldan: 500, 450, 505 → 0,45 < 0,5 < 0,505

Uyarı: Daha çok basamağa sahip sayı her zaman büyük değildir. 0,45 (iki basamak), 0,5'ten (bir basamak) küçüktür.

5. Yuvarlama

Belirli bir basamağa yuvarlarken, bir sağındaki basamağa bakılır:

• 5 veya daha büyükse → yuvarlanan basamak 1 artırılır.
• 5'ten küçükse → yuvarlanan basamak aynı kalır.
• Yuvarlanan basamağın sağındaki tüm basamaklar atılır.

Örnek: 3,4719 sayısını - Onda birliğe (yüzde birlik 7'ye bak): 3,5 - Yüzde birliğe (binde birlik 1'e bak): 3,47 - Binde birliğe (on binde birlik 9'a bak): 3,472

6. Devirli (Periyodik) Ondalık Sayılar

Bir kesrin ondalık açılımında belirli bir rakam grubu sonsuza dek tekrar ediyorsa buna devirli ondalık sayı denir. Tekrar eden grubun üzerine çizgi konur veya parantez kullanılır.

• 1/3 = 0,3333... = 0,3̄ (3 devreder)
• 5/6 = 0,8333... = 0,83̄ (sadece 3 devreder; 8 devretmez)
• 2/11 = 0,181818... = 0,1̄8̄

Devirli ondalık sayıyı kesre çevirme — Kısa yol:

        (Virgülden sonraki TÜM rakamlar) − (Devretmeyen rakamlar)
Kesir = ----------------------------------------------------------
        (Her devreden rakam için 9) (Her devretmeyen rakam için 0)

• Tam kısmı ayrı tutarsan işlem kolaylaşır.

Örnek 1 (tümü devreden): 0,4̄5̄ = 45/99 = 5/11

Örnek 2 (karışık): 0,16̄ (1 devretmez, 6 devreder) - Pay: 16 − 1 = 15 - Payda: devreden 1 rakam → bir 9; devretmeyen 1 rakam → bir 0 → 90 - Sonuç: 15/90 = 1/6

7. Ondalık – Kesir – Yüzde Dönüşümleri

Ondalık → Yüzde: 100 ile çarp (virgülü iki basamak sağa kaydır), sonuna % koy. - 0,35 = %35 ; 1,2 = %120 ; 0,07 = %7

Yüzde → Ondalık: 100'e böl (virgülü iki basamak sola kaydır). - %25 = 0,25 ; %5 = 0,05 ; %150 = 1,5

Kesir → Ondalık: Payı paydaya böl. - 3/4 = 0,75 ; 1/8 = 0,125

Ondalık → Kesir: Payda 10'un kuvveti yazılır, sadeleştirilir. - 0,75 = 75/100 = 3/4

Kesir → Yüzde: Önce ondalığa çevir, sonra 100 ile çarp (veya paydayı 100 yap). - 3/5 = 60/100 = %60

Sık kullanılan eşitlikler (ezberlenmeli):

Önemli Formüller ve Kurallar

1. Kesre çevirme: Ondalık kısım n basamaklıysa → payda 10ⁿ. Örn. 0,abc = abc/1000.
2. Çarpma kuralı: Sonuçtaki ondalık basamak sayısı = çarpanların ondalık basamak sayılarının toplamı.
3. Bölme kuralı: Bölen ve bölüneni aynı 10'un kuvveti ile çarp, böleni tam sayı yap; sonuç değişmez.
4. Toplama/Çıkarma: Virgüller alt alta hizalanır.
5. Yuvarlama: Sağ komşu ≥ 5 ise yukarı, < 5 ise aşağı.
6. Tümü devirli: Devreden rakam grubu / o kadar 9. Örn. 0,a̅b̅ = ab/99.
7. Karışık devirli: (Tüm ondalık rakamlar − devretmeyenler) / (devreden adedince 9, devretmeyen adedince 0).
8. Yüzde köprüsü: %x = x/100 = x'in ondalık karşılığı. Virgülü 2 basamak kaydır.
9. 10ⁿ ile çarpma/bölme: 10, 100, 1000 ile çarparken virgülü sağa; bölerken sola kaydır.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Toplama ve Çıkarma

Soru: 7,8 + 12,45 − 3,275 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Basamakları sıfırla eşitleyip virgülleri hizalayalım. - 7,800 + 12,450 = 20,250 - 20,250 − 3,275 = 16,975

Sonuç: 16,975

Örnek 2: Çarpma

Soru: 0,25 × 0,4 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: - Virgülleri yok say: 25 × 4 = 100 - Ondalık basamak sayısı: 2 + 1 = 3 - Sağdan 3 basamak: 0,100 = 0,1

Sonuç: 0,1

Örnek 3: Bölme

Soru: 6,3 ÷ 0,09 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: - Böleni (0,09) tam sayı yapmak için 100 ile çarp; bölüneni de 100 ile çarp. - 6,3 × 100 = 630 ; 0,09 × 100 = 9 - 630 ÷ 9 = 70

Sonuç: 70

Örnek 4: Sıralama

Soru: 0,7 ; 0,68 ; 0,705 ; 0,7 sayılarından en büyüğü ile en küçüğünü bulup sıralayınız.

Çözüm: Basamakları eşitleyelim (3 basamak): - 0,700 ; 0,680 ; 0,705 - Tam kısımlar eşit (0). Ondalıkları karşılaştır: 680 < 700 < 705 - Sıralama: 0,68 < 0,7 < 0,705

Sonuç: En küçük 0,68 ; en büyük 0,705

Örnek 5: Yuvarlama

Soru: 12,4863 sayısını yüzde birliğe (iki ondalık basamağa) yuvarlayınız.

Çözüm: - Yüzde birlik basamak 8'dir. Sağ komşusu 6'dır. - 6 ≥ 5 olduğundan 8 → 9 olur, sağı atılır.

Sonuç: 12,49

Örnek 6: Devirli Ondalık Sayıyı Kesre Çevirme (Tümü devreden)

Soru: 0,3̄6̄ devirli ondalık sayısını kesre çeviriniz.

Çözüm: - Devreden grup "36", iki rakam → payda iki adet 9 = 99 - Kesir: 36/99 - Sadeleştir (9 ile): 36/99 = 4/11

Sonuç: 4/11

Örnek 7: Karışık Devirli Ondalık Sayıyı Kesre Çevirme

Soru: 2,16̄ (sadece 6 devrediyor) sayısını kesre çeviriniz.

Çözüm: - Tam kısmı ayır: 2 + 0,16̄ - 0,16̄ için: Pay = (tüm ondalık rakamlar 16) − (devretmeyen 1) = 16 − 1 = 15 - Payda: devreden 1 rakam → bir 9; devretmeyen 1 rakam → bir 0 → 90 - 0,16̄ = 15/90 = 1/6 - Toplam: 2 + 1/6 = 12/6 + 1/6 = 13/6

Sonuç: 13/6

Örnek 8: Ondalık – Yüzde – Kesir Dönüşümü

Soru: Bir öğrenci sınavdaki soruların 0,8'ini doğru çözmüştür. Bu oran yüzde kaçtır ve en sade kesir hâli nedir?

Çözüm: - Yüzdeye çevir: 0,8 × 100 = %80 - Kesre çevir: 0,8 = 8/10 = 4/5

Sonuç: %80 ve 4/5

Örnek 9: İşlem Önceliği ile Karışık Problem

Soru: (0,5 + 0,25) × 0,4 ÷ 0,06 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: - Parantez: 0,5 + 0,25 = 0,75 - Çarpma: 0,75 × 0,4 = 0,30 (75 × 4 = 300, 2+1=3 basamak → 0,300) - Bölme: 0,30 ÷ 0,06 → ikisini 100 ile çarp → 30 ÷ 6 = 5

Sonuç: 5

Örnek 10: Yüzde Uygulaması

Soru: 250 TL'lik bir ürüne %12 zam yapılıyor. Yeni fiyat kaç TL'dir?

Çözüm: - %12 = 0,12 - Zam tutarı: 250 × 0,12 = 30 TL - Yeni fiyat: 250 + 30 = 280 TL (veya doğrudan 250 × 1,12 = 280)

Sonuç: 280 TL