Faiz Problemleri — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Problemler · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Faiz problemlerinde geçen temel kavramlar şunlardır:

• Anapara (A): İşletilen, yatırılan veya borç alınan başlangıç parasıdır.
• Faiz oranı (n veya r): Anaparaya uygulanan yüzdesel orandır. Genellikle yıllık verilir (yıllık %n).
• Zaman (t): Paranın işletildiği süredir (yıl, ay veya gün).
• Faiz (F): Süre sonunda anaparanın getirdiği kazançtır.
• Toplam (Birikim, B): Anapara ile faizin toplamıdır. B = A + F.
• Vade: Paranın çekileceği veya borcun ödeneceği son tarihtir.

Basit Faiz

Basit faizde, faiz yalnızca başlangıç anaparası üzerinden hesaplanır. Yani her dönem kazanılan faiz tekrar işletilmez; anapara sabit kalır. Temel formül:

Faiz = Anapara × Faiz oranı × Zaman

Yıllık %n faiz oranı ile, t yıl boyunca işletilen A liralık anaparanın faizi:

F = A × (n / 100) × t

Burada n yüzde değeri olduğu için 100'e bölünür. Süre sonunda elde edilen toplam para (birikim):

B = A + F = A × (1 + (n × t) / 100)

Zaman biriminin dönüştürülmesi: Faiz oranı yıllık verildiğinde, süre de yıl cinsinden yazılmalıdır.

• 1 yıl = 12 ay = 360 gün (faiz problemlerinde genellikle bir yıl 360 gün kabul edilir; "ticari yıl").
• Süre ay cinsindense: t = (ay sayısı) / 12 yıl.
• Süre gün cinsindense: t = (gün sayısı) / 360 yıl.

Buna göre pratik formüller:

• Yıllık faiz: F = A × n × t / 100 (t yıl cinsinden)
• Aylık faiz: F = A × n × (ay sayısı) / (100 × 12)
• Günlük faiz: F = A × n × (gün sayısı) / (100 × 360)

Bileşik Faiz (Temel Düzey)

Bileşik faizde, her dönem sonunda kazanılan faiz anaparaya eklenir ve bir sonraki dönemin faizi bu yeni (büyümüş) anapara üzerinden hesaplanır. Yani "faizin faizi" işler. Bu yüzden bileşik faiz, aynı koşullarda basit faizden daha fazla kazanç sağlar.

Yıllık %n bileşik faiz ile, A liralık anaparanın t yıl sonundaki toplam değeri:

B = A × (1 + n / 100)^t

Burada üst (^) işlemi, dönem sayısı kadar tekrarlanan çarpımı gösterir. Kazanılan bileşik faiz:

F = B − A = A × [ (1 + n / 100)^t − 1 ]

Dönem mantığı: Bileşik faiz yılda bir kez değil de daha sık (örneğin 6 ayda bir) işletiliyorsa, her dönemin oranı küçülür ama dönem sayısı artar. Örneğin yıllık %20 faiz, 6 ayda bir bileşik işlerse her dönem %10'dan iki dönem uygulanır.

Basit ve bileşik faiz karşılaştırması: İlk dönemde ikisi aynı faizi verir. Farklar ikinci dönemden itibaren ortaya çıkar; çünkü bileşik faiz, birinci dönemin faizini de işletmeye başlar.

Önemli Formüller ve Kurallar

Temel kurallar:

1. Birim tutarlılığı: Faiz oranının periyodu (yıllık/aylık) ile sürenin birimi aynı olmalı. Yıllık oran + aylık süre kullanılacaksa, ya oran aya indirilir ya da süre yıla çevrilir.
2. Yıl = 360 gün, 1 ay = 30 gün kabulü ticari faiz hesabında standarttır (aksi belirtilmedikçe).
3. Basit faizde faiz doğru orantılıdır: süre 2 katına çıkarsa faiz de 2 katına çıkar; oran 3 katına çıkarsa faiz de 3 katına çıkar.
4. Bileşik faizde büyüme çarpımsaldır; her dönem (1 + n/100) ile çarpılır.
5. Bilinmeyen anapara, oran, süre veya faizden herhangi biri sorulduğunda formül ters çözülerek bulunur.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Bir kişi 8.000 TL'yi yıllık %15 basit faizle 2 yıl süreyle bankaya yatırıyor. Bu kişinin 2 yıl sonunda alacağı faiz kaç TL'dir?

Çözüm:

Veriler: A = 8.000, n = 15, t = 2 yıl.

Basit faiz formülü: F = A × n × t / 100

F = 8.000 × 15 × 2 / 100

F = 240.000 / 100 = 2.400 TL.

Sonuç: Kişi 2 yıl sonunda 2.400 TL faiz alır.

Örnek 2:

Yıllık %24 basit faizle bankaya yatırılan 5.000 TL, 8 ay sonra ne kadar faiz getirir?

Çözüm:

Faiz oranı yıllık, süre ise ay cinsinden. Süreyi yıla çevirelim: t = 8 / 12 yıl.

F = A × n × t / 100 = 5.000 × 24 × (8 / 12) / 100

Önce 5.000 × 24 = 120.000.

120.000 × 8 / 12 = 120.000 × 0,6667 = 80.000.

F = 80.000 / 100 = 800 TL.

Sonuç: 8 ayın sonunda 800 TL faiz elde edilir.

Örnek 3:

Bir miktar para yıllık %20 basit faizle 3 yıl işletildiğinde 3.600 TL faiz getirmiştir. Bu paranın (anaparanın) miktarı kaç TL'dir?

Çözüm:

F = A × n × t / 100 formülünden A çekelim:

A = F × 100 / (n × t)

A = 3.600 × 100 / (20 × 3)

A = 360.000 / 60 = 6.000 TL.

Sonuç: Anapara 6.000 TL'dir.

Örnek 4:

10.000 TL yıllık %18 basit faizle 90 gün süreyle yatırılırsa, vade sonunda elde edilecek faiz kaç TL'dir? (1 yıl = 360 gün)

Çözüm:

Günlük süre için: F = A × n × gün / (100 × 360)

F = 10.000 × 18 × 90 / (100 × 360)

Pay: 10.000 × 18 × 90 = 16.200.000.

Payda: 100 × 360 = 36.000.

F = 16.200.000 / 36.000 = 450 TL.

Sonuç: 90 gün sonunda 450 TL faiz alınır.

Örnek 5:

Bir anapara yıllık %25 basit faizle işletildiğinde kaç ayda 2.500 TL faiz getirir? (Anapara 12.000 TL'dir.)

Çözüm:

Önce yıl cinsinden süreyi bulalım: F = A × n × t / 100

2.500 = 12.000 × 25 × t / 100

2.500 = 3.000 × t

t = 2.500 / 3.000 = 5 / 6 yıl.

Ay cinsine çevirelim: (5 / 6) × 12 = 10 ay.

Sonuç: Anapara 10 ayda 2.500 TL faiz getirir.

Örnek 6:

15.000 TL, yıllık %12 basit faizle 4 yıl yatırıldığında vade sonunda toplam ne kadar para çekilir?

Çözüm:

Önce faizi bulalım: F = A × n × t / 100 = 15.000 × 12 × 4 / 100

F = 720.000 / 100 = 7.200 TL.

Toplam birikim: B = A + F = 15.000 + 7.200 = 22.200 TL.

(Alternatif: B = A × (1 + n × t / 100) = 15.000 × (1 + 48/100) = 15.000 × 1,48 = 22.200 TL.)

Sonuç: Vade sonunda 22.200 TL çekilir.

Örnek 7:

10.000 TL, yıllık %20 bileşik faizle 2 yıl yatırılıyor. Vade sonunda toplam para ve kazanılan bileşik faiz kaç TL'dir?

Çözüm:

Bileşik faiz formülü: B = A × (1 + n / 100)^t

B = 10.000 × (1 + 20/100)^2 = 10.000 × (1,2)^2

(1,2)^2 = 1,44.

B = 10.000 × 1,44 = 14.400 TL.

Kazanılan faiz: F = B − A = 14.400 − 10.000 = 4.400 TL.

Sonuç: Toplam 14.400 TL, kazanılan faiz 4.400 TL'dir.

(Karşılaştırma: Aynı para basit faizle 2 yılda 10.000 × 20 × 2 / 100 = 4.000 TL getirirdi. Bileşik faiz 400 TL fazla kazandırdı.)

Örnek 8:

8.000 TL, yıllık %10 bileşik faizle 3 yıl işletilirse vade sonundaki toplam para kaç TL olur?

Çözüm:

B = A × (1 + n / 100)^t = 8.000 × (1,1)^3

(1,1)^3 = 1,1 × 1,1 × 1,1 = 1,331.

B = 8.000 × 1,331 = 10.648 TL.

Sonuç: 3 yıl sonunda toplam 10.648 TL birikir.

Örnek 9:

A kişisi parasını yıllık %16 basit faizle, B kişisi ise aynı parayı (20.000 TL) yıllık %16 bileşik faizle 2 yıl yatırıyor. İki kişinin elde edeceği faizler arasındaki fark kaç TL'dir?

Çözüm:

Basit faiz (A kişisi): F₁ = 20.000 × 16 × 2 / 100 = 6.400 TL.

Bileşik faiz (B kişisi): B = 20.000 × (1,16)^2 = 20.000 × 1,3456 = 26.912 TL.

F₂ = 26.912 − 20.000 = 6.912 TL.

Fark: F₂ − F₁ = 6.912 − 6.400 = 512 TL.

Sonuç: Bileşik faiz, basit faizden 512 TL fazla kazandırır.