Karisim Problemleri — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Problemler · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Temel Kavramlar

Bir karışım, en az iki bileşenden oluşur. Genellikle bir bileşen saf madde (tuz, şeker, alkol, altın, gümüş vb.), diğeri çözücü/katkı (genellikle su veya başka bir madde) olur.

Bir karışımda en çok kullanılan kavram karışım yüzdesidir. Örneğin "%20'lik tuzlu su" demek, karışımın her 100 biriminde 20 birim tuz, 80 birim su bulunması demektir.

2. Karışım Yüzdesi (Oranı) Formülü

Bir karışımdaki saf maddenin oranı şöyle bulunur:

Karışım Yüzdesi = (Saf Madde Miktarı / Toplam Karışım Miktarı) × 100

Buradan iki önemli sonuç çıkar:

Saf Madde Miktarı = Toplam Karışım × (Yüzde / 100)

Toplam Karışım = Saf Madde Miktarı / (Yüzde / 100)

Örnek: 400 gram %15'lik tuzlu su karışımında bulunan tuz miktarı: Tuz = 400 × (15 / 100) = 60 gram, geri kalan 340 gram sudur.

3. İki (veya Daha Fazla) Karışımı Birleştirme

Farklı oranlardaki iki karışım birleştirildiğinde, oluşan yeni karışımın oranı, saf maddelerin toplamının, toplam karışıma bölünmesiyle bulunur:

Yeni Oran = (1. Karışımdaki Saf Madde + 2. Karışımdaki Saf Madde) / (1. Karışım Miktarı + 2. Karışım Miktarı) × 100

Burada en kritik nokta şudur: Yüzdeler doğrudan toplanmaz veya ortalanmaz. Önce her karışımdaki saf madde miktarını bulup, sonra toplamak gerekir.

4. Su Ekleme ve Su Buharlaştırma

Bir karışıma su eklendiğinde: - Toplam miktar artar. - Saf madde miktarı değişmez (sabit kalır). - Bu yüzden karışımın yüzdesi azalır.

Bir karışımdan su buharlaştırıldığında (veya su uçurulduğunda): - Toplam miktar azalır. - Saf madde miktarı yine değişmez (sabit kalır). - Bu yüzden karışımın yüzdesi artar.

Bu tip soruların altın kuralı: Saf madde miktarı sabittir. İşlem öncesi ve sonrası saf madde miktarını eşitleyerek çözüm yapılır.

5. Tuz - Şeker - Alkol Karışımları

Bu karışımlar aynı mantıkla çözülür. Önemli ayrıntı: "alkol-su" karışımlarında bazen alkol oranı, bazen su oranı verilebilir. Verilen oranın hangi bileşene ait olduğunu doğru okumak gerekir. Örneğin "%40'lık alkol çözeltisi" demek, %40 alkol, %60 su demektir.

6. Maliyet Karışımı (Ortalama Fiyat)

Farklı fiyatlardaki ürünler karıştırıldığında oluşan karışımın kilogram/litre başına ortalama maliyeti şöyle bulunur:

Ortalama Fiyat = Toplam Maliyet / Toplam Miktar

Ortalama Fiyat = (m₁ × f₁ + m₂ × f₂ + ...) / (m₁ + m₂ + ...)

Burada m miktar, f ise birim fiyattır. Bu, ağırlıklı ortalama mantığıdır.

7. Alaşım Problemleri

Alaşım, iki veya daha fazla metalin eritilerek karıştırılmasıyla elde edilir (örneğin altın-bakır, gümüş-bakır). Bu problemler de karışım yüzdesi mantığıyla çözülür. Örneğin "%75 altın içeren alaşım" demek, alaşımın %75'inin altın, %25'inin başka metal olması demektir. Altın ayarı (karat) gibi kavramlar da buraya dahildir: 24 ayar saf altındır; örneğin 18 ayar altın, 18/24 = %75 oranında saf altın içerir.

Önemli Formüller ve Kurallar

Temel kurallar:

1. Saf madde miktarı her zaman izlenir. Su ekleme/buharlaştırmada saf madde sabit kalır.
2. Yüzdeler doğrudan toplanmaz. Önce miktarları bulup birleştir.
3. Su eklenince oran düşer, su uçurulunca oran yükselir.
4. Saf su eklemek, karışıma "%0 oranlı bir karışım" eklemekle aynıdır.
5. Karışıma saf madde (örneğin saf tuz) eklemek, "%100 oranlı karışım" eklemekle aynıdır.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Temel Karışım Yüzdesi

600 gram tuzlu suyun 90 gramı tuzdur. Bu karışımın tuz yüzdesi kaçtır?

Çözüm: Yüzde = (Saf madde / Toplam) × 100 Yüzde = (90 / 600) × 100 Yüzde = 0,15 × 100 = %15

Sonuç: Karışımın tuz oranı %15'tir.

Örnek 2: Saf Madde Miktarını Bulma

%25'lik 800 gram şekerli su karışımında kaç gram şeker vardır?

Çözüm: Saf madde = Toplam × (Yüzde / 100) Şeker = 800 × (25 / 100) Şeker = 800 × 0,25 = 200 gram

Sonuç: Karışımda 200 gram şeker bulunur (geri kalan 600 gram sudur).

Örnek 3: İki Karışımı Birleştirme

%20'lik 300 gram tuzlu su ile %40'lık 200 gram tuzlu su karıştırılıyor. Oluşan yeni karışımın tuz oranı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Her karışımdaki tuz miktarını bulalım. - 1. karışımdaki tuz = 300 × (20 / 100) = 60 gram - 2. karışımdaki tuz = 200 × (40 / 100) = 80 gram

Adım 2: Toplam tuz ve toplam karışımı bulalım. - Toplam tuz = 60 + 80 = 140 gram - Toplam karışım = 300 + 200 = 500 gram

Adım 3: Yeni oranı hesaplayalım. - Yeni oran = (140 / 500) × 100 = %28

Sonuç: Yeni karışımın tuz oranı %28'dir. (Dikkat: 20 ile 40'ın ortalaması olan 30 değildir; çünkü miktarlar eşit değildir.)

Örnek 4: Su Ekleme

%30'luk 400 gram tuzlu suya 200 gram saf su ekleniyor. Yeni karışımın tuz oranı kaç olur?

Çözüm:

Adım 1: Mevcut tuz miktarını bulalım (su eklenince bu değişmez). - Tuz = 400 × (30 / 100) = 120 gram

Adım 2: Yeni toplam miktarı bulalım. - Yeni toplam = 400 + 200 = 600 gram

Adım 3: Yeni oranı hesaplayalım. - Yeni oran = (120 / 600) × 100 = %20

Sonuç: Su eklenince oran %30'dan %20'ye düşer.

Örnek 5: Su Buharlaştırma

%10'luk 500 gram tuzlu sudan bir miktar su buharlaştırılınca karışım %25'lik oluyor. Kaç gram su buharlaşmıştır?

Çözüm:

Adım 1: Tuz miktarını bulalım (buharlaşmada tuz sabit kalır). - Tuz = 500 × (10 / 100) = 50 gram

Adım 2: Yeni karışımda tuz %25 olduğuna göre yeni toplam miktarı bulalım. - Yeni toplam = Tuz / (25 / 100) = 50 / 0,25 = 200 gram

Adım 3: Buharlaşan suyu bulalım. - Buharlaşan su = İlk toplam − Son toplam = 500 − 200 = 300 gram

Sonuç: 300 gram su buharlaşmıştır.

Örnek 6: Hedef Orana Ulaşmak için Su Ekleme

%50'lik 300 gram alkol çözeltisine kaç gram saf su eklenirse karışım %30'luk olur?

Çözüm:

Adım 1: Alkol miktarını bulalım (su eklenince alkol sabit kalır). - Alkol = 300 × (50 / 100) = 150 gram

Adım 2: Yeni karışımda alkol %30 olacağına göre yeni toplam miktarı bulalım. - Yeni toplam = Alkol / (30 / 100) = 150 / 0,30 = 500 gram

Adım 3: Eklenmesi gereken suyu bulalım. - Eklenen su = Yeni toplam − İlk toplam = 500 − 300 = 200 gram

Sonuç: 200 gram saf su eklenmelidir.

Örnek 7: Maliyet Karışımı (Ortalama Fiyat)

Kilogramı 12 TL olan kahveden 30 kg ile kilogramı 20 TL olan kahveden 20 kg karıştırılıyor. Karışımın kilogram fiyatı kaç TL olur?

Çözüm:

Adım 1: Toplam maliyeti bulalım. - 1. kahve maliyeti = 30 × 12 = 360 TL - 2. kahve maliyeti = 20 × 20 = 400 TL - Toplam maliyet = 360 + 400 = 760 TL

Adım 2: Toplam miktarı bulalım. - Toplam miktar = 30 + 20 = 50 kg

Adım 3: Ortalama fiyatı hesaplayalım. - Ortalama fiyat = 760 / 50 = 15,2 TL

Sonuç: Karışımın kilogram fiyatı 15,2 TL'dir.

Örnek 8: Alaşım (Altın) Problemi

%80 altın içeren 200 gram bir alaşım ile %50 altın içeren 100 gram bir alaşım eritilip karıştırılıyor. Oluşan yeni alaşımın altın yüzdesi kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Her alaşımdaki altın miktarını bulalım. - 1. alaşımdaki altın = 200 × (80 / 100) = 160 gram - 2. alaşımdaki altın = 100 × (50 / 100) = 50 gram

Adım 2: Toplam altın ve toplam alaşımı bulalım. - Toplam altın = 160 + 50 = 210 gram - Toplam alaşım = 200 + 100 = 300 gram

Adım 3: Yeni oranı hesaplayalım. - Yeni oran = (210 / 300) × 100 = %70

Sonuç: Yeni alaşımın altın oranı %70'tir.

Örnek 9: Saf Madde Ekleyerek Oranı Artırma

%20'lik 400 gram tuzlu suya kaç gram saf tuz eklenirse karışım %36'lık olur?

Çözüm:

Adım 1: Mevcut tuz miktarını bulalım. - Tuz = 400 × (20 / 100) = 80 gram

Adım 2: Eklenen saf tuz miktarına x diyelim. Eklenen tuz hem saf maddeyi hem toplamı artırır. - Yeni tuz = 80 + x - Yeni toplam = 400 + x

Adım 3: Yeni oran %36 olacağına göre denklemi kuralım. - (80 + x) / (400 + x) = 36 / 100 = 0,36 - 80 + x = 0,36 × (400 + x) - 80 + x = 144 + 0,36x - x − 0,36x = 144 − 80 - 0,64x = 64 - x = 100 gram

Sonuç: 100 gram saf tuz eklenmelidir.