Hareket Hiz Problemleri — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Problemler · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Temel Bağıntı: Yol = Hız × Zaman

Bir cismin sabit hızla hareket ettiğini varsayalım. Bu durumda:

Yol (x) = Hız (V) × Zaman (t)

Bu bağıntıdan diğer iki büyüklük şöyle elde edilir:

• Hız: V = x / t
• Zaman: t = x / V

Birimler: Hesap yaparken birimlerin uyumlu olmasına dikkat edilmelidir. - Hız genellikle km/saat (km/sa) veya m/saniye (m/sn) cinsinden verilir. - 1 km = 1000 m, 1 saat = 60 dakika = 3600 saniye.

km/sa ↔ m/sn dönüşümü: - m/sn'yi km/sa'ya çevirmek için 3,6 ile çarp. - km/sa'yı m/sn'ye çevirmek için 3,6'ya böl.

Örneğin 72 km/sa = 72 / 3,6 = 20 m/sn'dir.

2. Aynı Yönde Hareket (Birbirini Kovalama)

İki cisim aynı yönde hareket ediyorsa, aralarındaki mesafe hızlar farkı kadar değişir. Hızlı olan, yavaş olana yetişmeye çalışır.

Yaklaşma/Yetişme hızı = V₁ − V₂ (V₁ > V₂)

Aralarındaki d mesafesini kapatmak (yetişmek) için gereken süre:

t = d / (V₁ − V₂)

Bu mantık, "öndeki araca yetişme" veya "arada belirli mesafe oluşması" sorularında kullanılır.

3. Zıt Yönde Hareket

a) Birbirine Doğru Hareket (Karşılıklı Yaklaşma):

İki cisim birbirine doğru hareket ediyorsa, aralarındaki mesafe hızlar toplamı kadar azalır.

Yaklaşma hızı = V₁ + V₂

Aralarında d mesafe varken karşılaşmaları için gereken süre:

t = d / (V₁ + V₂)

b) Birbirinden Uzaklaşma:

İki cisim zıt yönlerde, birbirinden uzaklaşacak şekilde hareket ediyorsa, aralarındaki mesafe yine hızlar toplamı kadar artar.

Uzaklaşma hızı = V₁ + V₂

t süre sonra aralarındaki mesafe:

d = (V₁ + V₂) × t (başta aynı noktadaysalar)

4. Turlama (Çembersel Pist) Problemleri

Bir çembersel (kapalı) pistte hareket eden iki cisim için pistin uzunluğu L (bir tur) olsun.

a) Aynı yönde hareket: Hızlı cisim, yavaş cisme tam bir tur fark atmadan onu yakalayamaz. İlk kez yan yana gelmeleri (hızlının yavaşa bir tur fark atması) için:

t = L / (V₁ − V₂)

b) Zıt yönde hareket: Birlikte toplam bir tur (L) kat ettiklerinde karşılaşırlar:

t = L / (V₁ + V₂)

Not: İkisi de aynı noktadan, aynı anda başlarsa, ilk karşılaşma yukarıdaki sürelerle bulunur.

5. Ortalama Hız

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölümüdür. Bu, en çok hata yapılan konudur.

Ortalama Hız = Toplam Yol / Toplam Zaman

ÇOK ÖNEMLİ: Ortalama hız, hızların aritmetik ortalaması DEĞİLDİR (özel durumlar hariç).

Bir aracın yolun bir kısmını V₁, eşit uzunluktaki diğer kısmını V₂ hızıyla gittiği durumda ortalama hız, harmonik ortalama ile bulunur:

V_ort = 2·V₁·V₂ / (V₁ + V₂)

Bu formül yalnızca gidilen yollar eşit olduğunda geçerlidir. Süreler eşitse aritmetik ortalama kullanılır.

6. Akıntı Problemleri

Bir tekne/yüzücü, durgun suda V_tekne hızına sahip olsun. Akıntı hızı V_akıntı olsun.

• Akıntı yönünde (akıntıyla aynı, suyun aşağısına):

  V_aşağı = V_tekne + V_akıntı

• Akıntıya karşı (suyun yukarısına):

  V_yukarı = V_tekne − V_akıntı

İki bilinmeyen (V_tekne ve V_akıntı) genellikle iki denklemle çözülür:

V_tekne = (V_aşağı + V_yukarı) / 2

V_akıntı = (V_aşağı − V_yukarı) / 2

7. Tren Problemleri

Trenlerin bir uzunluğu olduğu için, geçiş hesaplarında trenin boyu da yola eklenir.

• Bir direği/insanı geçme: Trenin alması gereken yol = trenin boyu.

  t = (Tren boyu) / V

• Bir köprüyü/tüneli/peronu geçme: Yol = tren boyu + köprü uzunluğu.

  t = (Tren boyu + Köprü uzunluğu) / V

• İki trenin birbirini geçmesi: Alınan toplam yol = iki trenin boyları toplamı; bağıl hız aynı yönde fark, zıt yönde toplamdır.

Önemli Formüller ve Kurallar

Diğer kurallar: - m/sn → km/sa: × 3,6 ; km/sa → m/sn: ÷ 3,6 - Eşit yol, farklı hız → Ortalama hız = 2·V₁·V₂ / (V₁ + V₂) (harmonik ortalama) - Eşit süre, farklı hız → Ortalama hız = (V₁ + V₂) / 2 (aritmetik ortalama) - Akıntıyla: V_tekne + V_akıntı ; Akıntıya karşı: V_tekne − V_akıntı - Köprü/tünel geçişi: Yol = Tren boyu + Köprü uzunluğu

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Temel Bağıntı

Bir araç 90 km/sa sabit hızla 4 saat yol almıştır. Aracın aldığı yol kaç km'dir?

Çözüm: - Yol = Hız × Zaman - Yol = 90 × 4 = 360 km

Sonuç: 360 km

Örnek 2: Hız Bulma

Bir koşucu 1500 metrelik yolu 5 dakikada koşmuştur. Koşucunun hızı kaç m/sn'dir?

Çözüm: - Önce zamanı saniyeye çevirelim: 5 dakika = 5 × 60 = 300 saniye - V = Yol / Zaman = 1500 / 300 = 5 m/sn

Sonuç: 5 m/sn

Örnek 3: Birbirine Doğru Hareket

Aralarında 480 km mesafe bulunan A ve B şehirlerinden, aynı anda birbirine doğru iki araç hareket ediyor. A'dan çıkan aracın hızı 70 km/sa, B'den çıkanın hızı 90 km/sa'dır. Bu araçlar kaç saat sonra karşılaşır?

Çözüm: - Birbirine doğru hareketde yaklaşma hızı = hızlar toplamı - Yaklaşma hızı = 70 + 90 = 160 km/sa - t = Mesafe / Yaklaşma hızı = 480 / 160 = 3 saat

Sonuç: 3 saat

Örnek 4: Aynı Yönde Yetişme

Bir hırsız 60 km/sa hızla kaçmaktadır. Hırsız 20 km öndeyken, polis 100 km/sa hızla peşine düşüyor. Polis hırsıza kaç saat sonra yetişir?

Çözüm: - Aynı yönde hareket → yetişme hızı = hızlar farkı - Yetişme hızı = 100 − 60 = 40 km/sa - Kapatılacak mesafe = 20 km - t = 20 / 40 = 0,5 saat = 30 dakika

Sonuç: 30 dakika (yarım saat)

Örnek 5: Ortalama Hız (Harmonik Ortalama)

Bir araç A şehrinden B şehrine 60 km/sa hızla gidip, aynı yoldan B'den A'ya 90 km/sa hızla dönüyor. Aracın gidiş-dönüş ortalama hızı kaç km/sa'dır?

Çözüm: - Gidiş ve dönüş yolları eşit olduğundan harmonik ortalama kullanılır. - V_ort = 2·V₁·V₂ / (V₁ + V₂) - V_ort = (2 × 60 × 90) / (60 + 90) = 10800 / 150 = 72 km/sa

Dikkat: Aritmetik ortalama (60 + 90)/2 = 75 olurdu; bu YANLIŞ olur. Doğru cevap 72'dir.

Sonuç: 72 km/sa

Örnek 6: Akıntı Problemi

Bir tekne, akıntı yönünde (akıntıyla) 60 km'lik yolu 2 saatte; akıntıya karşı aynı 60 km'lik yolu 3 saatte alıyor. Teknenin durgun sudaki hızı ve akıntının hızı kaç km/sa'dır?

Çözüm: - Akıntıyla hız = 60 / 2 = 30 km/sa → V_tekne + V_akıntı = 30 - Akıntıya karşı hız = 60 / 3 = 20 km/sa → V_tekne − V_akıntı = 20 - İki denklemi toplarsak: 2·V_tekne = 50 → V_tekne = 25 km/sa - V_akıntı = 30 − 25 = 5 km/sa

Sonuç: Tekne 25 km/sa, akıntı 5 km/sa

Örnek 7: Tren - Köprü Geçişi

Boyu 200 metre olan bir tren, 30 m/sn hızla, uzunluğu 400 metre olan bir köprüyü kaç saniyede tamamen geçer?

Çözüm: - Trenin tamamen geçmesi için alması gereken yol = tren boyu + köprü uzunluğu - Yol = 200 + 400 = 600 m - t = Yol / Hız = 600 / 30 = 20 saniye

Sonuç: 20 saniye

Örnek 8: Çembersel Pistte Turlama (Zıt Yön)

Çevresi 600 metre olan dairesel bir pistin aynı noktasından, iki koşucu aynı anda zıt yönlerde harekete başlıyor. Birincinin hızı 5 m/sn, ikincinin hızı 3 m/sn'dir. İlk kez kaç saniye sonra karşılaşırlar?

Çözüm: - Zıt yönde hareketde, ikisi birlikte tam bir tur (600 m) kat edince karşılaşır. - Yaklaşma hızı = 5 + 3 = 8 m/sn - t = Tur uzunluğu / Yaklaşma hızı = 600 / 8 = 75 saniye

Sonuç: 75 saniye

Örnek 9: İki Trenin Birbirini Geçmesi

Boyları sırasıyla 150 m ve 250 m olan iki tren, zıt yönlerde paralel raylarda hareket ediyor. Hızları 20 m/sn ve 30 m/sn'dir. İki tren birbirini kaç saniyede tamamen geçer?

Çözüm: - Zıt yön → bağıl hız = 20 + 30 = 50 m/sn - Tamamen geçmek için alınacak yol = boylar toplamı = 150 + 250 = 400 m - t = 400 / 50 = 8 saniye

Sonuç: 8 saniye

Örnek 10: Birim Dönüşümü ile Birleşik Soru

72 km/sa hızla giden bir araç ile 54 km/sa hızla giden bir araç, aralarında 350 metre mesafeyle aynı yönde hareket etmektedir. Arkadaki hızlı araç, öndeki araca kaç saniyede yetişir?

Çözüm: - Hızları m/sn'ye çevirelim: 72 / 3,6 = 20 m/sn ; 54 / 3,6 = 15 m/sn - Aynı yön → yetişme hızı = 20 − 15 = 5 m/sn - t = 350 / 5 = 70 saniye

Sonuç: 70 saniye