Sayi Basamaklari — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Temel Matematik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Rakam ve Sayı Kavramı

Sayıları yazmak için kullandığımız sembollere rakam denir. Onluk (decimal) sayma sisteminde 10 farklı rakam vardır:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Bu rakamların belirli bir düzende yan yana getirilmesiyle sayılar oluşur. Örneğin 4, 7 ve 2 rakamlarıyla 472, 247, 724 gibi farklı sayılar yazılabilir.

Önemli ayrım: - Rakam sınırlıdır (10 tane). - Sayı sonsuzdur (rakamların farklı dizilimleriyle sonsuz sayı üretilir).

Basamak Kavramı

Bir sayıda her rakamın bulunduğu konuma basamak denir. Sağdan sola doğru basamaklar isimlendirilir:

• 1. basamak (en sağ): birler basamağı
• 2. basamak: onlar basamağı
• 3. basamak: yüzler basamağı
• 4. basamak: binler basamağı
• 5. basamak: on binler basamağı
• 6. basamak: yüz binler basamağı

Örneğin 3 5 8 0 6 sayısında: - 6 → birler basamağında - 0 → onlar basamağında - 8 → yüzler basamağında - 5 → binler basamağında - 3 → on binler basamağında

Not: Bir sayının soldaki ilk basamağı (en yüksek basamağı) sıfır olamaz. Örneğin üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı 0 olamaz; aksi takdirde sayı iki basamaklı olur.

Basamak Değeri ve Sayı Değeri

Bir rakamın sayı içinde iki farklı değeri vardır:

Sayı değeri (rakam değeri): Rakamın kendi öz değeridir; hangi basamakta olursa olsun değişmez. Örneğin 7'nin sayı değeri her zaman 7'dir.

Basamak değeri: Rakamın bulunduğu basamağa göre kazandığı değerdir. Basamak değeri = (rakamın sayı değeri) × (basamağın çarpanı) şeklinde hesaplanır.

Örnek olarak 4 7 2 9 sayısını inceleyelim:

Bir sayının kendisi, tüm rakamlarının basamak değerlerinin toplamına eşittir:

4729 = 4000 + 700 + 20 + 9

Bir Sayının Çözümlenmesi

Bir sayıyı, rakamlarının basamak değerleri toplamı şeklinde yazmaya o sayının çözümlenmesi denir. Problem çözerken sayının rakamlarını harflerle gösterip çözümlemek en güçlü tekniktir.

İki basamaklı bir sayı: Onlar basamağı a, birler basamağı b olan iki basamaklı sayıyı ab ile gösterelim. (Burada ab, a ile b'nin çarpımı değil, rakamların yan yana yazılmasıdır.)

ab = 10a + b

Burada a ≠ 0 olmalıdır (1 ≤ a ≤ 9), b ise 0 ile 9 arasında olabilir.

Üç basamaklı bir sayı: Yüzler basamağı a, onlar basamağı b, birler basamağı c olsun.

abc = 100a + 10b + c

Burada a ≠ 0 (1 ≤ a ≤ 9), b ve c ise 0 ile 9 arasındadır.

Dört basamaklı bir sayı:

abcd = 1000a + 100b + 10c + d

Bu çözümleme mantığı tüm sayılara genişletilebilir. Örneğin 1000a + 100b + 10c + d ifadesinde a binler, b yüzler, c onlar, d birler basamağıdır.

Rakamların Yer Değiştirmesi (Ters Çevrilen Sayı)

Bir sayının rakamlarının yerini değiştirmek, çözümleme tekniğiyle kolayca ele alınır.

İki basamaklı ab sayısının rakamları yer değiştirirse ba sayısı elde edilir:

ab = 10a + b

ba = 10b + a

Bu iki sayı arasındaki fark her zaman 9'un katıdır:

ab − ba = (10a + b) − (10b + a) = 9a − 9b = 9(a − b)

ab + ba = 11a + 11b = 11(a + b)

Üç basamaklı abc sayısının ilk ve son rakamı yer değiştirirse cba olur:

abc − cba = (100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) = 99a − 99c = 99(a − c)

Bu sonuçlar, ALES'te rakam değiştirme sorularında doğrudan kullanılır ve çok zaman kazandırır.

Belirli Bir Rakamı İçeren Sayıları Düşünme

Bir sayının belirli bir basamağına bir rakam eklemek çözümleme ile ifade edilir. Örneğin iki basamaklı ab sayısının başına 5 rakamı eklenirse üç basamaklı bir sayı oluşur:

5ab = 500 + 10a + b = 500 + ab

İki basamaklı ab sayısının soluna bir x rakamı yazılırsa: xab = 100x + ab olur. Bu mantık, "sayının başına/sonuna rakam ekleme" tipi sorularda kullanılır.

İki basamaklı ab sayısının sonuna 0 yazılırsa sayı ab0 olur ve değeri 10 ile çarpılmış demektir:

ab0 = 10 × ab

Önemli Formüller ve Kurallar

Akılda tutulması gereken sınırlar: - Bir sayının en soldaki (en yüksek) basamağı 0 olamaz. - Her rakam 0 ile 9 arasında bir tam sayıdır. - "Rakamları farklı" denmedikçe rakamlar birbirine eşit olabilir. - "Birbirinden farklı pozitif rakam" gibi ifadelere dikkat edilmelidir (0 dışlanır).

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Soru: 6 4 0 7 sayısında 6 rakamının basamak değeri ile 4 rakamının basamak değeri toplamı kaçtır?

Çözüm: Sayıyı çözümleyelim: 6407 = 6×1000 + 4×100 + 0×10 + 7×1 - 6 rakamının basamak değeri: 6 × 1000 = 6000 - 4 rakamının basamak değeri: 4 × 100 = 400

Toplam: 6000 + 400 = 6400

Örnek 2:

Soru: Üç basamaklı abc sayısında a rakamının basamak değeri, c rakamının basamak değerinin 25 katıdır. c sıfırdan farklı olduğuna göre, a rakamının c rakamına oranı (a/c) kaçtır?

Çözüm: - a rakamının basamak değeri: 100a - c rakamının basamak değeri: c (birler basamağı, çarpan 1)

Verilen koşul: 100a = 25 × c Buradan: a/c = 25/100 = 1/4

Yani a/c = 1/4 olur. (Örneğin a = 1, c = 4 ya da a = 2, c = 8 gibi değerler bu koşulu sağlar.)

Örnek 3:

Soru: İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirildiğinde sayının değeri 27 azalmaktadır. Buna göre bu sayının onlar basamağı ile birler basamağının farkı kaçtır?

Çözüm: Sayı ab = 10a + b olsun. Rakamları yer değiştirince ba = 10b + a olur.

Sayı 27 azaldığına göre: ab − ba = 27 (10a + b) − (10b + a) = 27 9a − 9b = 27 9(a − b) = 27 a − b = 3

Örnek 4:

Soru: İki basamaklı bir sayı, rakamları toplamının 7 katına eşittir. Buna göre bu sayının onlar basamağındaki rakam birler basamağındaki rakamın kaç katıdır?

Çözüm: Sayı: 10a + b. Rakamları toplamı: a + b.

Koşul: 10a + b = 7(a + b) 10a + b = 7a + 7b 10a − 7a = 7b − b 3a = 6b a = 2b

Yani onlar basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamın 2 katıdır. (Bu koşulu sağlayan sayılar: a=2,b=1 → 21; a=4,b=2 → 42; a=6,b=3 → 63; a=8,b=4 → 84. Hepsi 7'nin katı ve rakamları toplamının 7 katıdır.)

Örnek 5:

Soru: İki basamaklı bir sayı ile rakamlarının yer değiştirmesiyle elde edilen sayının toplamı 121'dir. Bu iki sayının farkı 9 olduğuna göre, başlangıçtaki büyük sayı kaçtır?

Çözüm: Sayı ab = 10a + b, tersi ba = 10b + a olsun.

Toplam: ab + ba = 11(a + b) = 121 → a + b = 11 Fark: ab − ba = 9(a − b) = 9 → a − b = 1

İki denklemi birlikte çözelim: a + b = 11 a − b = 1 Taraf tarafa toplayalım: 2a = 12 → a = 6, dolayısıyla b = 5.

Büyük sayı ab = 65, küçük sayı ba = 56. Cevap: 65

Örnek 6:

Soru: İki basamaklı ab sayısının başına 3 rakamı eklenerek üç basamaklı 3ab sayısı elde ediliyor. Yeni sayı, eski sayının 11 katı oluyor. Buna göre ab iki basamaklı sayısı kaçtır?

Çözüm: 3ab üç basamaklı sayısı çözümlenirse: 3ab = 300 + ab.

Koşul: 3ab = 11 × ab 300 + ab = 11 × ab 300 = 11 × ab − ab 300 = 10 × ab ab = 30

Cevap: 30 (Kontrol: 330 = 11 × 30, doğru.)

Örnek 7:

Soru: Üç basamaklı bir sayının yüzler ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirildiğinde, sayı 297 azalmaktadır. Buna göre bu sayının yüzler basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın farkı kaçtır?

Çözüm: Sayı abc = 100a + 10b + c olsun. Yüzler ve birler yer değiştirince cba = 100c + 10b + a olur.

Fark: abc − cba = 99(a − c) = 297 a − c = 297 / 99 = 3

Onlar basamağı (b) yer değiştirmede değişmediği için sonucu etkilemez.

Örnek 8:

Soru: Rakamları birbirinden farklı, iki basamaklı bir ab sayısının rakamları çarpımı 12, rakamları toplamı 7'dir. Bu koşulları sağlayan en büyük ab sayısı kaçtır?

Çözüm: a + b = 7 ve a × b = 12 koşullarını sağlayan rakamları arıyoruz.

Toplamı 7, çarpımı 12 olan iki sayı: 3 ve 4 (çünkü 3 + 4 = 7, 3 × 4 = 12).

Rakamlar 3 ve 4 olduğuna göre oluşabilecek sayılar 34 ve 43'tür. En büyüğü: Cevap: 43

Örnek 9:

Soru: Üç basamaklı bir abc sayısında a = 2c ve b = c + 1 ilişkileri vardır. c rakamı en küçük pozitif değerini aldığında abc sayısı kaçtır?

Çözüm: c rakamı pozitif olduğundan en küçük değeri c = 1'dir. - a = 2c = 2 × 1 = 2 - b = c + 1 = 1 + 1 = 2 - c = 1

Sayı: abc = 221. Cevap: 221 (a = 2 ≠ 0 olduğundan üç basamaklı sayı koşulu sağlanır.)