Rasyonel Sayilar Kesirler — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Temel Matematik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Rasyonel Sayı ve Kesir Kavramı

a ve b tam sayılar ve b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.

• a/b ifadesinde a paydır (pay), b paydadır (payda).
• Payda asla sıfır olamaz çünkü bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
• Pay sıfır olabilir: 0/b = 0 (b ≠ 0).
• Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır (örneğin 5 = 5/1).

Bir kesir, bütünün eşit parçalara bölünmüş hâlindeki belli sayıda parçayı ifade eder. Örneğin 3/4 kesri, bir bütünün 4 eşit parçaya bölündüğünü ve bunlardan 3 tanesinin alındığını gösterir.

2. Kesir Türleri

a) Basit (Bayağı) Kesir: Payı paydasından küçük olan kesirlerdir. Değeri 0 ile 1 arasındadır. Örnek: 2/5, 3/7, 11/13

b) Bileşik Kesir: Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan kesirlerdir. Değeri 1'e eşit veya 1'den büyüktür. Örnek: 7/4, 9/9, 15/8

c) Tam Sayılı Kesir: Bir tam sayı ile bir basit kesrin birlikte yazıldığı kesirlerdir. Her tam sayılı kesir bir bileşik kesre, her bileşik kesir bir tam sayılı kesre çevrilebilir. Örnek: 2 1/3 (iki tam üçte bir)

Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirme: a b/c = (a · c + b) / c

Örnek: 2 1/3 = (2·3 + 1)/3 = 7/3

Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirme: Pay paydaya bölünür; bölüm tam sayı kısmı, kalan yeni pay, payda aynı kalır.

Örnek: 17/5 = 3 2/5 (çünkü 17 = 5·3 + 2)

3. Denk (Eşit) Kesirler

Bir kesrin pay ve paydası aynı sayı (sıfırdan farklı) ile çarpılır veya bölünürse kesrin değeri değişmez. Bu şekilde elde edilen kesirlere denk kesirler denir.

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = ...

Pay ve paydanın ortak böleni kalmayacak şekilde sadeleştirilmiş kesre en sade hâl (indirgenmiş kesir) denir. Örneğin 12/18 kesri 2/3 olarak sadeleşir.

4. Kesirlerde Dört İşlem

Toplama ve Çıkarma:

• Paydalar eşitse paylar toplanır/çıkarılır, payda aynı kalır: a/c ± b/c = (a ± b)/c

• Paydalar farklıysa kesirler paydaları eşitlenecek şekilde genişletilir (paydaların EKOK'u alınır), sonra paylar işleme sokulur: a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d)

Çarpma: Paylar payla, paydalar paydayla çarpılır. Çarpmadan önce çapraz veya dikey sadeleştirme yapmak işlemi kolaylaştırır. a/b · c/d = (a·c) / (b·d)

Bölme: Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır. a/b ÷ c/d = a/b · d/c = (a·d) / (b·c)

Önemli: Tam sayılı kesirlerle çarpma/bölme yapmadan önce mutlaka bileşik kesre çevirin. Aksi halde hatalı sonuç bulunur.

5. Kesirleri Sıralama (Karşılaştırma)

Kesirleri karşılaştırmak için kullanılan başlıca yöntemler:

a) Paydaları Eşitleme: Paydalar eşitlenir; payı büyük olan kesir büyüktür.

b) Payları Eşitleme: Paylar eşitse, paydası küçük olan kesir büyüktür. Örnek: 3/5 ile 3/7 → 3/5 > 3/7 (pay aynı, payda küçük olan büyük).

c) Çapraz Çarpma: a/b ile c/d karşılaştırılırken a·d ile b·c çarpımları kıyaslanır (paydalar pozitifse). - a·d > b·c ise a/b > c/d - a·d < b·c ise a/b < c/d

d) 1'e (veya başka bir referansa) Uzaklık: Payı paydasından 1 eksik olan kesirlerde (n-1)/n biçiminde, payda büyüdükçe kesrin değeri 1'e yaklaşır, yani büyür. Örnek: 4/5 < 5/6 < 6/7 (her biri 1'e daha yakın).

6. Bir Kesrin Değerini Büyültme / Küçültme

Pozitif a/b kesri için (b > 0):

Paya pozitif bir sayı ekleme: Basit kesirde (a < b) paya ve paydaya aynı pozitif sayı eklenirse kesrin değeri büyür. Bileşik kesirde (a > b) aynı işlem değeri küçültür.

• a < b ise: a/b < (a+k)/(b+k) (k > 0) → değer büyür, 1'e yaklaşır.
• a > b ise: a/b > (a+k)/(b+k) (k > 0) → değer küçülür, 1'e yaklaşır.

Sadece payı artırmak / paydayı azaltmak: Kesrin değerini büyütür. Sadece payı azaltmak / paydayı artırmak: Kesrin değerini küçültür.

7. Karmaşık (İç İçe) Kesirler

Pay veya paydasında (ya da her ikisinde) yine kesir bulunan ifadelere karmaşık kesir denir. Bu tür ifadeler en içteki işlemden başlanarak, adım adım sadeleştirilir.

Genel kural: Büyük kesir çizgisi bir bölme işlemidir. (a/b) / (c/d) = a/b · d/c

Örnek: (3/4) / (5/6) = 3/4 · 6/5 = 18/20 = 9/10

8. Devirli Ondalık Sayıların Kesre Çevrilmesi

Ondalık kısmı belli bir basamaktan sonra düzenli olarak tekrar eden sayılara devirli (periyodik) ondalık sayı denir. Tekrar eden kısım devir çubuğu ile gösterilir.

Saf (tam) devirli ondalık sayı: Virgülden hemen sonra devir başlar. Kural: Tam kısımla devreden kısım yan yana yazılır, tam kısım çıkarılır; paydaya devreden basamak sayısı kadar 9 yazılır.

a,b̄ = (ab − a) / 9 (b tek basamak devrediyorsa)

Örnek: 0,3̄ = 3/9 = 1/3 ; 0,4̄5̄ = 45/99 = 5/11 ; 2,6̄ = (26 − 2)/9 = 24/9 = 8/3

Karışık (bileşik) devirli ondalık sayı: Virgülden sonra devretmeyen basamaklar da vardır. Kural: Pay = (devretmeyen kısma kadar olan tüm sayı) − (devretmeyen kısma kadar olan sayı). Payda = devreden basamak sayısı kadar 9, ardından devretmeyen basamak sayısı kadar 0.

Örnek: 0,1\overline{6} → Pay = 16 − 1 = 15, Payda = 90 → 15/90 = 1/6 Örnek: 0,2\overline{3} → Pay = 23 − 2 = 21, Payda = 90 → 21/90 = 7/30

Önemli Formüller ve Kurallar

Hatırlatmalar: - Payda asla sıfır olamaz. - İşlemlerde önce parantez/iç içe kesirler, sonra çarpma-bölme, en son toplama-çıkarma yapılır. - Çarpma ve bölmede sadeleştirme işlemi kolaylaştırır; toplama ve çıkarmada çapraz sadeleştirme YAPILMAZ.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

2/3 + 1/4 − 1/6 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Paydaların (3, 4, 6) EKOK'u 12'dir. 2/3 = 8/12, 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12 İşlem: 8/12 + 3/12 − 2/12 = (8 + 3 − 2)/12 = 9/12 = 3/4

Örnek 2:

2 1/2 · 1 1/3 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir: 2 1/2 = (2·2 + 1)/2 = 5/2 1 1/3 = (1·3 + 1)/3 = 4/3 Çarpma: 5/2 · 4/3 = 20/6 = 10/3 (yani 3 1/3)

Örnek 3:

(3/5) ÷ (9/10) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Bölme, ikinci kesrin tersi ile çarpmadır: 3/5 ÷ 9/10 = 3/5 · 10/9 Sadeleştirme: 3 ile 9 sadeleşir (1 ve 3); 5 ile 10 sadeleşir (1 ve 2): = (1/1) · (2/3) = 2/3

Örnek 4:

3/4, 5/7 ve 7/9 kesirlerini küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: Çapraz çarpma ile ikişerli karşılaştıralım. 3/4 ile 5/7: 3·7 = 21, 4·5 = 20 → 21 > 20 ⇒ 3/4 > 5/7 5/7 ile 7/9: 5·9 = 45, 7·7 = 49 → 45 < 49 ⇒ 5/7 < 7/9 3/4 ile 7/9: 3·9 = 27, 4·7 = 28 → 27 < 28 ⇒ 3/4 < 7/9 Sıralama: 5/7 < 3/4 < 7/9 Sonuç: 5/7 < 3/4 < 7/9

Örnek 5:

[ 1 + (1/2) ] / [ 1 − (1/3) ] iç içe kesrinin değeri kaçtır?

Çözüm: Önce pay ve payda ayrı ayrı hesaplanır. Pay: 1 + 1/2 = 3/2 Payda: 1 − 1/3 = 2/3 Bölme: (3/2) ÷ (2/3) = 3/2 · 3/2 = 9/4 Sonuç: 9/4 (yani 2 1/4)

Örnek 6:

1 / ( 2 + 1/(3 + 1/2) ) iç içe kesrinin değeri kaçtır?

Çözüm: En içten başlanır. 3 + 1/2 = 7/2 1 / (7/2) = 2/7 2 + 2/7 = 16/7 1 / (16/7) = 7/16

Örnek 7:

0,4\overline{5} (sıfır virgül dört devir beş) devirli ondalık sayısını kesir olarak yazınız.

Çözüm: Bu karışık devirli ondalık sayıdır. Devretmeyen basamak: 4; devreden basamak: 5. Pay = (tüm sayı) − (devretmeyen kısım) = 45 − 4 = 41 Payda = 1 devreden basamak için 9, 1 devretmeyen basamak için 0 → 90 Sonuç: 41/90

Örnek 8:

0,\overline{36} + 0,\overline{6} işleminin sonucunu kesir olarak yazınız.

Çözüm: 0,\overline{36} = 36/99 = 4/11 0,\overline{6} = 6/9 = 2/3 Toplama (paydalar 11 ve 3, EKOK = 33): 4/11 = 12/33, 2/3 = 22/33 12/33 + 22/33 = 34/33 Sonuç: 34/33 (yani 1 1/33)

Örnek 9:

a/b basit bir kesir (a < b) olsun. Pay ve paydaya 5 eklenirse kesrin değeri için ne söylenebilir?

Çözüm: a < b olduğundan kesir basit kesirdir, değeri 1'den küçüktür. Basit bir kesrin payına ve paydasına aynı pozitif sayı eklenirse kesir büyür ve 1'e yaklaşır. Örnekle doğrulayalım: 2/5 = 0,4 ; (2+5)/(5+5) = 7/10 = 0,7 → gerçekten büyüdü. Sonuç: Kesrin değeri büyür.

Örnek 10:

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 toplamının sonucu kaçtır?

Çözüm: Bu kesirler n(n+1) biçimindedir: 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + 1/(4·5). Bilinen ayrıştırma: 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1). = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + (1/4 − 1/5) Ara terimler birbirini götürür (teleskopik toplam): = 1 − 1/5 = 4/5