Uslu Sayilar — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Temel Matematik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Üs (Kuvvet) Tanımı

Bir a sayısının n kez kendisiyle çarpımına a'nın n. kuvveti denir ve aⁿ biçiminde yazılır.

aⁿ = a · a · a · ... · a (n tane a çarpımı)

Burada: - a sayısına taban, - n sayısına üs (kuvvet) denir.

Örnek: - 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 - 5² = 5 · 5 = 25 - (-3)² = (-3) · (-3) = 9

Okunuşu: 2³ ifadesi "iki üssü üç" veya "ikinin üçüncü kuvveti" diye okunur.

2. Negatif Tabanlı Üslü Sayılar

Tabanın işareti negatif olduğunda üssün tek mi çift mi olduğu sonucun işaretini belirler.

• Üs çift ise sonuç pozitiftir: (-2)⁴ = 16
• Üs tek ise sonuç negatiftir: (-2)³ = -8

Parantezin yeri çok önemlidir: - (-2)⁴ = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16 - -2⁴ = -(2 · 2 · 2 · 2) = -16

İkinci ifadede üs yalnızca 2 tabanına etki eder, baştaki eksi işareti dışarıda kalır.

3. Çarpma Kuralı (Tabanlar Aynı)

Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır.

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Örnek: 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128

4. Bölme Kuralı (Tabanlar Aynı)

Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır.

aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0)

Örnek: 5⁶ / 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ = 625

5. Üssün Üssü (Kuvvetin Kuvveti)

Bir üslü ifadenin tekrar üssü alınırken üsler çarpılır.

(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ

Örnek: (2³)² = 2³·² = 2⁶ = 64

Dikkat: (aᵐ)ⁿ ile aᵐⁿ aynı şeydir; fakat a^(mⁿ) farklıdır. (2³)² = 2⁶ = 64 iken 2^(3²) = 2⁹ = 512. Parantezsiz üst üste yazılan üsler yukarıdan aşağıya hesaplanır.

6. Çarpımın ve Bölümün Kuvveti

Bir çarpımın veya bölümün üssü, her bir çarpana ayrı ayrı dağıtılır.

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (b ≠ 0)

Örnek: - (2 · 3)² = 2² · 3² = 4 · 9 = 36 - (3/4)² = 3²/4² = 9/16

7. Sıfırıncı Kuvvet

Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.

a⁰ = 1 (a ≠ 0)

Örnek: 7⁰ = 1, (-5)⁰ = 1, (100)⁰ = 1

Not: 0⁰ ifadesi belirsizdir ve ALES düzeyinde tanımsız kabul edilir.

8. Negatif Üs

Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssüne eşittir.

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (a ≠ 0)

Örnek: - 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 - 5⁻¹ = 1/5

Kesirli tabanda negatif üs, kesri ters çevirir:

(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ

Örnek: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4

9. Birinci Kuvvet ve 1'in Kuvvetleri

• a¹ = a (her sayının 1. kuvveti kendisidir)
• 1ⁿ = 1 (1'in her kuvveti 1'dir)

10. 10'un Kuvvetleri ve Bilimsel Gösterim

10'un kuvvetleri ondalık sistemde çok kullanışlıdır:

• 10¹ = 10
• 10² = 100
• 10³ = 1000
• 10⁰ = 1
• 10⁻¹ = 0,1
• 10⁻² = 0,01
• 10⁻³ = 0,001

Kural: 10ⁿ ifadesinde, n pozitifse 1'den sonra n tane sıfır vardır. n negatifse virgülden sonra |n| basamak ilerleyince 1 gelir.

Bilimsel Gösterim: Çok büyük veya çok küçük sayıları a · 10ⁿ biçiminde yazmaya bilimsel gösterim denir. Burada 1 ≤ a < 10 olmalıdır.

Örnek: - 45000 = 4,5 · 10⁴ - 0,00032 = 3,2 · 10⁻⁴ - 6.700.000 = 6,7 · 10⁶

11. Üslü Denklemler

Üslü denklemleri çözerken temel strateji tabanları eşitlemektir. Tabanlar eşitlendiğinde üsler de eşit olur.

Eğer aˣ = aʸ ve a ≠ 0, 1, -1 ise x = y olur.

Örnek: 3ˣ = 81 denklemini çözelim. 81 = 3⁴ olduğundan 3ˣ = 3⁴ ⟹ x = 4.

12. Üslü İfadelerde Sıralama

Üslü ifadeleri karşılaştırırken kullanılan iki temel yöntem:

a) Tabanları eşitleme: İfadeleri ortak bir tabana getirip üsleri karşılaştırırız.

8 = 2³, 4 = 2² olduğundan 8⁵ = 2¹⁵ ve 4⁸ = 2¹⁶ ⟹ 4⁸ > 8⁵.

b) Üsleri eşitleme: Üsler eşitse tabanı büyük olan sayı büyüktür (pozitif tabanlarda).

2¹² = (2³)⁴ = 8⁴ ve 3¹² = (3³)⁴ = 27⁴... burada üsleri eşitleyip tabanları karşılaştırmak daha pratiktir: 2¹² < 3¹².

0 ile 1 arası tabanlar (0 < a < 1): Üs büyüdükçe değer küçülür. Örneğin (1/2)² > (1/2)³ çünkü 1/4 > 1/8.

13. Taban-Üs İlişkileri

• Taban > 1 ise üs büyüdükçe değer artar: 2³ < 2⁴ < 2⁵.
• 0 < Taban < 1 ise üs büyüdükçe değer azalır: (1/3)³ > (1/3)⁴.
• Negatif tabanlarda işaret, üssün tek/çift oluşuna bağlıdır.

Önemli Formüller ve Kurallar

Aşağıdaki tabloda a, b ≠ 0 ve m, n tam sayıdır.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

2⁵ · 2³ / 2⁴ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Tabanlar aynı olduğu için önce çarpmada üsleri toplarız, sonra bölmede çıkarırız. 2⁵ · 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸ 2⁸ / 2⁴ = 2⁸⁻⁴ = 2⁴ = 16

Sonuç: 16

Örnek 2:

(-2)⁴ + (-3)³ - 2⁰ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Her terimi ayrı ayrı hesaplayalım. (-2)⁴ = 16 (üs çift, sonuç pozitif) (-3)³ = -27 (üs tek, sonuç negatif) 2⁰ = 1 Toplam: 16 + (-27) - 1 = 16 - 27 - 1 = -12

Sonuç: -12

Örnek 3:

(2³)² · 2⁻⁴ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Önce üssün üssünü hesaplayalım: (2³)² = 2³·² = 2⁶. Aynı tabanlı çarpmada üsleri toplarız: 2⁶ · 2⁻⁴ = 2⁶⁺(⁻⁴) = 2² = 4.

Sonuç: 4

Örnek 4:

(2/3)⁻² · (3/4)² işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Negatif üs kesri ters çevirir: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4. (3/4)² = 9/16. Çarpalım: 9/4 · 9/16 = 81/64.

Sonuç: 81/64

Örnek 5:

3ˣ⁺¹ = 27 denkleminde x kaçtır?

Çözüm: Tabanları eşitleyelim: 27 = 3³. 3ˣ⁺¹ = 3³ ⟹ üsler eşit: x + 1 = 3 ⟹ x = 2.

Sonuç: x = 2

Örnek 6:

4ˣ = 8 denkleminde x kaçtır?

Çözüm: Her iki tarafı 2 tabanına çevirelim. 4 = 2² olduğundan 4ˣ = (2²)ˣ = 2²ˣ. 8 = 2³. 2²ˣ = 2³ ⟹ 2x = 3 ⟹ x = 3/2.

Sonuç: x = 3/2

Örnek 7:

0,000045 sayısını bilimsel gösterimle yazınız.

Çözüm: Virgülü, ilk anlamlı rakamdan (4) sonra gelecek şekilde sağa kaydırırız: 4,5. Virgülü sağa 5 basamak kaydırdık, bu yüzden üs -5 olur. 0,000045 = 4,5 · 10⁻⁵

Sonuç: 4,5 · 10⁻⁵

Örnek 8:

2⁶⁰, 3⁴⁰ ve 5²⁰ sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: Üsleri ortak bir değere getirelim. 60, 40 ve 20'nin ortak böleni 20'dir. 2⁶⁰ = (2³)²⁰ = 8²⁰ 3⁴⁰ = (3²)²⁰ = 9²⁰ 5²⁰ = 5²⁰ Artık üsler eşit (hepsi 20), tabanları karşılaştırırız: 5 < 8 < 9. Dolayısıyla 5²⁰ < 8²⁰ < 9²⁰, yani 5²⁰ < 2⁶⁰ < 3⁴⁰.

Sonuç: 5²⁰ < 2⁶⁰ < 3⁴⁰

Örnek 9:

x⁻² = 1/9 ise x'in pozitif değeri kaçtır?

Çözüm: x⁻² = 1/x² olduğundan 1/x² = 1/9 ⟹ x² = 9 ⟹ x = ±3. Pozitif değer istendiği için x = 3.

Sonuç: x = 3