Basit Esitsizlikler — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Temel Matematik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Eşitsizlik Kavramı

İki sayı veya ifade arasında eşitlik dışındaki ilişkileri belirten sembollere eşitsizlik sembolleri denir:

• < : küçüktür (örnek: 3 < 5)
• > : büyüktür (örnek: 7 > 2)
• ≤ : küçük veya eşittir (örnek: x ≤ 4, yani x en çok 4 olabilir)
• ≥ : büyük veya eşittir (örnek: x ≥ 1, yani x en az 1 olabilir)

< ve > sembollerine kesin (sıkı) eşitsizlik, ≤ ve ≥ sembollerine ise kapalı eşitsizlik denir. Kapalı eşitsizliklerde sınır değer çözüme dahildir, kesin eşitsizliklerde dahil değildir.

2. Eşitsizliğin Özellikleri

Eşitsizlikler, bazı önemli farklar dışında denklemlere benzer şekilde çözülür.

a) Her iki tarafa aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitsizlik yönü değişmez.

a < b ise → a + c < b + c ve a − c < b − c

Örnek: 3 < 7 ise, 3 + 4 < 7 + 4 yani 7 < 11 (doğru).

b) Her iki taraf POZİTİF bir sayı ile çarpılır veya bölünürse yön DEĞİŞMEZ.

a < b ve c > 0 ise → a·c < b·c

Örnek: 2 < 5 ise, 2·3 < 5·3 yani 6 < 15 (doğru).

c) Her iki taraf NEGATİF bir sayı ile çarpılır veya bölünürse yön DEĞİŞİR.

a < b ve c < 0 ise → a·c > b·c

Örnek: 2 < 5 iken her iki tarafı −1 ile çarparsak → −2 > −5 (doğru). İşaret yön değiştirir!

Bu kural eşitsizliklerin en kritik kuralıdır. Bir bilinmeyenin başındaki negatif katsayıyı yok etmek için negatif sayı ile çarptığınızda/böldüğünüzde eşitsizlik yönünü çevirmeyi unutmayın.

d) Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.

a < b ve c < d ise → a + c < b + d

e) Pozitif sayıların ters çevrilmesinde yön değişir.

0 < a < b ise → 1/a > 1/b

Örnek: 2 < 4 ise, 1/2 > 1/4 (doğru).

3. Birinci Dereceden Eşitsizlik Çözme

Bilinmeyeni 1. dereceden olan (üssü 1 olan) eşitsizliklerdir. Amaç bilinmeyeni yalnız bırakmaktır. Çözüm adımları:

1. Bilinmeyenli terimleri bir tarafta, sayıları diğer tarafta topla.
2. Bilinmeyenin katsayısına böl.
3. Katsayı negatif ise eşitsizlik yönünü değiştir.
4. Sonucu aralık veya sayı doğrusunda göster.

Örnek: 3x − 5 < 7 → 3x < 12 → x < 4

4. Çift Taraflı (a < x < b) Eşitsizlikler

x'in iki sayı arasında olduğunu belirten ifadelerdir: a < x < b (x, a ile b arasındadır).

Bu tür eşitsizliklerde yapılan işlem üç bölüme birden uygulanır. Örneğin tüm taraflara aynı sayı eklenir, tüm taraflar aynı sayı ile çarpılır.

Dikkat: Çift taraflı eşitsizliği negatif sayı ile çarparsanız HER İKİ yön de değişir ve sayıların sırası tersine döner.

Örnek: −2 < x < 5 iken −x'i bulmak için her şeyi −1 ile çarparsak: 2 > −x > −5 → düzgün yazılışı: −5 < −x < 2

5. Çarpım / Bölüm Tablosu (İşaret İncelemesi)

Birden fazla çarpan içeren veya bölüm içeren eşitsizliklerde (örneğin (x−2)(x+3) > 0) en güvenli yöntem işaret tablosu kurmaktır.

Adımlar:

1. İfadeyi çarpanlarına ayır ve bir tarafı 0 yap.
2. Her çarpanı sıfır yapan kök değerlerini bul.
3. Kökleri sayı doğrusuna küçükten büyüğe sırala.
4. En sağdaki bölgede ifadenin işaretini belirle: Baş katsayı pozitifse en sağ daima (+) olur.
5. Tek katlı (kuvveti tek) köklerden geçerken işaret değişir, çift katlı (kuvveti çift) köklerden geçerken işaret değişmez.
6. İstenen işarete (> 0 için artı, < 0 için eksi) uyan bölgeleri seç.

Bölümde özel kural: Paydayı sıfır yapan değer asla çözüme dahil edilemez (içi boş nokta). ≤ veya ≥ olsa bile payda kökü dışlanır.

Örnek tablo: (x − 1)(x + 2) > 0

Kökler: x = 1 ve x = −2

Aralık:    (−∞, −2)   |   (−2, 1)   |   (1, +∞)
İşaret:        +       |      −      |      +

0 (pozitif) istendiği için çözüm: x < −2 veya x > 1

6. Aralık Gösterimi

Çözüm kümeleri aralık (interval) notasyonu ile gösterilir:

• Açık aralık (a, b): a < x < b. Uç noktalar dahil değildir (sayı doğrusunda içi boş nokta).
• Kapalı aralık [a, b]: a ≤ x ≤ b. Uç noktalar dahildir (içi dolu nokta).
• Yarı açık aralık [a, b) veya (a, b]: bir uç dahil, diğeri değil.
• Sonsuz tarafı daima açık yazılır: (−∞, 3), [2, +∞).

7. Eşitsizliklerde En Küçük / En Büyük Değer

Bir aralıkta verilen bilinmeyenin tam sayı değerlerinin en küçüğü veya en büyüğü sıkça sorulur.

• x > 3 ise x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 4'tür (3 dahil değil).
• x ≥ 3 ise en küçük tam sayı 3'tür.
• x < 10 ise en büyük tam sayı 9'dur.
• x ≤ 10 ise en büyük tam sayı 10'dur.

İki ifadenin çarpımı/toplamı için en küçük-en büyük arandığında, uç değerlere yakın değerleri (sınırın hemen içindeki sayıları) deneyerek sonucu bulmak gerekir.

Önemli Formüller ve Kurallar

1. Pozitif çarpan kuralı: a < b ve c > 0 → a·c < b·c (yön değişmez)
2. Negatif çarpan kuralı: a < b ve c < 0 → a·c > b·c (yön DEĞİŞİR)
3. Toplama kuralı: a < b → a + c < b + c (her c için yön değişmez)
4. Taraf tarafa toplama: a < b, c < d → a + c < b + d
5. Ters çevirme: 0 < a < b → 1/a > 1/b
6. Çarpım işareti: (x − a)(x − b) > 0 → x < min veya x > max ; (x − a)(x − b) < 0 → min < x < max
7. Payda kuralı: Bir bölümde paydayı sıfır yapan değer hiçbir koşulda çözüme dahil edilemez.
8. Kök katlılık kuralı: Tek katlı kökte işaret değişir, çift katlı kökte işaret korunur.
9. Aralık ucu: Kesin eşitsizlik (<, >) → açık uç; kapalı eşitsizlik (≤, ≥) → kapalı uç.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

5x − 3 ≤ 2x + 9 eşitsizliğini sağlayan x değerlerini bulunuz.

Çözüm: Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa toplayalım. 5x − 2x ≤ 9 + 3 3x ≤ 12 Her iki tarafı 3 (pozitif) ile bölelim, yön değişmez: x ≤ 4

Sonuç: x ≤ 4, yani aralık gösterimiyle (−∞, 4]

Örnek 2:

−2x + 7 > 1 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm: 7'yi sağa atalım: −2x > 1 − 7 −2x > −6 Her iki tarafı −2 (negatif) ile böldüğümüz için yön DEĞİŞİR: x < 3

Sonuç: x < 3, aralık: (−∞, 3)

Negatif katsayıya bölündüğü için > sembolü < oldu.

Örnek 3:

−3 ≤ 2x − 1 < 7 çift taraflı eşitsizliğini çözünüz ve x'in alabileceği tam sayıları bulunuz.

Çözüm: Her üç tarafa +1 ekleyelim: −3 + 1 ≤ 2x < 7 + 1 −2 ≤ 2x < 8 Her üç tarafı 2 (pozitif) ile bölelim, yön değişmez: −1 ≤ x < 4

Sonuç: −1 ≤ x < 4, aralık: [−1, 4) x'in tam sayı değerleri: −1, 0, 1, 2, 3 (5 adet)

Örnek 4:

(x − 2)(x + 3) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm: Kökleri bulalım: x = 2 ve x = −3 Kökleri sıralayalım: −3 < 2 İşaret tablosu (baş katsayı pozitif, en sağ +):

Aralık:   (−∞, −3)  |  (−3, 2)  |  (2, +∞)
İşaret:       +      |     −     |     +

< 0 (negatif) istendiği için ortadaki bölgeyi seçeriz.

Sonuç: −3 < x < 2, aralık: (−3, 2)

Örnek 5:

(x + 1)(x − 4) ≥ 0 eşitsizliğinin çözümünü bulunuz.

Çözüm: Kökler: x = −1 ve x = 4 İşaret tablosu:

Aralık:   (−∞, −1)  |  (−1, 4)  |  (4, +∞)
İşaret:       +      |     −     |     +

≥ 0 istendiği için pozitif bölgeleri seçeriz. ≥ olduğundan kökler de dahildir.

Sonuç: x ≤ −1 veya x ≥ 4, aralık: (−∞, −1] ∪ [4, +∞)

Örnek 6:

(x − 3) / (x + 2) > 0 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm: Pay kökü: x = 3 (dahil olabilir ama > 0 olduğu için 3 ifadeyi 0 yapar, dahil edilmez) Payda kökü: x = −2 (asla dahil edilemez) İşaret tablosu:

Aralık:   (−∞, −2)  |  (−2, 3)  |  (3, +∞)
İşaret:       +      |     −     |     +

0 istendiği için pozitif bölgeler seçilir.

Sonuç: x < −2 veya x > 3, aralık: (−∞, −2) ∪ (3, +∞)

Örnek 7:

2 < 3x − 4 ≤ 11 eşitsizliğini sağlayan x'in alabileceği en büyük TAM SAYI değerini bulunuz.

Çözüm: Her tarafa +4 ekleyelim: 2 + 4 < 3x ≤ 11 + 4 6 < 3x ≤ 15 Her tarafı 3'e bölelim: 2 < x ≤ 5

x'in tam sayı değerleri: 3, 4, 5 Sonuç: En büyük tam sayı değeri 5'tir (≤ olduğu için 5 dahil).

Örnek 8:

−1 ≤ x ≤ 3 ve 2 ≤ y ≤ 6 ise, x − y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

Çözüm: x − y ifadesinin en küçük olması için x en küçük, y en büyük olmalıdır. x'in en küçüğü: −1 y'nin en büyüğü: 6 x − y = −1 − 6 = −7

Sonuç: x − y ifadesinin en küçük değeri −7'dir.

Örnek 9:

3 − 2x / 5 ≥ 1 eşitsizliğini çözünüz. (İfade: (3 − 2x)/5 ≥ 1)

Çözüm: Her iki tarafı 5 (pozitif) ile çarpalım: 3 − 2x ≥ 5 −2x ≥ 5 − 3 −2x ≥ 2 Her iki tarafı −2 ile bölelim, yön DEĞİŞİR: x ≤ −1

Sonuç: x ≤ −1, aralık: (−∞, −1]