Faktoriyel ve Moduler Aritmetik — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Temel Matematik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Faktöriyel Tanımı

1'den n'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.

n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n - 1) · n

Örnekler: - 3! = 1 · 2 · 3 = 6 - 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 - 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Tanım gereği: - 0! = 1 (özel tanım, mutlaka ezberlenmeli) - 1! = 1

Faktöriyel yalnızca negatif olmayan tam sayılar için tanımlıdır. (-3)! veya (2,5)! gibi ifadeler tanımsızdır.

2. Faktöriyelin Temel Özelliği (Tümevarımlı Yazım)

Her faktöriyel, kendisinden bir küçük faktöriyel cinsinden yazılabilir:

n! = n · (n - 1)!

Bu özellik, sadeleştirmenin temelidir. Örneğin: - 5! = 5 · 4! - 10! = 10 · 9! = 10 · 9 · 8! - (n + 1)! = (n + 1) · n!

Bu açılım, büyük faktöriyelleri tam olarak hesaplamadan ifadeleri sadeleştirmemizi sağlar.

3. Faktöriyel İçeren İfadeleri Sadeleştirme

Faktöriyellerin oranını sadeleştirirken, büyük olanı küçük olana kadar açar ve ortak faktöriyeli götürürüz.

Örnek mantık:

8! / 5! = (8 · 7 · 6 · 5!) / 5! = 8 · 7 · 6 = 336

Burada 8!'i 5!'e kadar açtık, payda ile sadeleştirdik. Genel kural:

n! / k! (n > k için) = n · (n - 1) · ... · (k + 1)

Yani paydadaki faktöriyele kadar inen ardışık çarpım kalır.

Toplama veya çıkarma içeren ifadelerde ortak parantez alınır:

7! + 6! = 7 · 6! + 6! = 6!(7 + 1) = 6! · 8

4. Bir Faktöriyelin Sonundaki Sıfır Sayısı

Bir sayının sonunda kaç sıfır olduğu, o sayının çarpanlarında kaç tane 10 = 2 · 5 çiftinin bulunduğuna bağlıdır. Faktöriyelde 2'ler her zaman 5'lerden çok olduğundan, sıfır sayısı = çarpanlardaki 5 sayısına eşittir.

n! ifadesinin sonundaki sıfır sayısı şu formülle bulunur:

Sıfır sayısı = [n/5] + [n/25] + [n/125] + ...

Buradaki [ ] sembolü tam değer (taban) fonksiyonudur, yani bölümün tam kısmını alırız. Toplama, bölüm 0 olana kadar devam eder.

5. Modüler Aritmetik Mantığı (Saat Problemleri)

Modüler aritmetik, "bölümden kalan" mantığına dayanır. Bir a sayısının m'ye bölümünden kalan r ise, bunu

a ≡ r (mod m)

şeklinde yazarız. Örneğin 17 ≡ 2 (mod 5), çünkü 17'nin 5'e bölümünden kalan 2'dir.

Saat mantığı bu konunun en sezgisel örneğidir: Saat 24'te (mod 24) veya analog saatte 12'de (mod 12) başa döner. Şu an saat 22:00 ise, 5 saat sonra 22 + 5 = 27 ≡ 3 (mod 24), yani 03:00 olur. Aynı şekilde haftanın günleri mod 7 ile çalışır.

Modüler aritmetiğin işlem kuralları: - Toplama: a ≡ r1, b ≡ r2 ise a + b ≡ r1 + r2 (mod m) - Çarpma: a · b ≡ r1 · r2 (mod m) - Kuvvet: a^k ≡ r^k (mod m)

Bu kurallar sayesinde çok büyük sayıların kalanını, küçük kalanlarla işlem yaparak buluruz.

6. Bir Sayının Belli Bir Sayıya Bölümünden Kalan

Büyük bir sayının (özellikle kuvvet ifadelerinin) kalanını bulurken, tabanı kalanına indirir, sonra kuvvetin kalanlarındaki devri (periyot) araştırırız.

Örneğin 3^100 sayısının 5'e bölümünden kalanı bulalım. 3'ün kuvvetlerinin mod 5 kalanları: - 3^1 ≡ 3 - 3^2 ≡ 9 ≡ 4 - 3^3 ≡ 27 ≡ 2 - 3^4 ≡ 81 ≡ 1 - 3^5 ≡ 3 ... (devir tekrar başlar)

Kalanlar 3, 4, 2, 1 şeklinde 4'lü periyotla tekrar eder. 100 = 4 · 25 olduğundan, 100 tam bölünür ve devrin son terimine (kalan 1) denk gelir. Yani 3^100 ≡ 1 (mod 5).

7. Birler Basamağı Bulma (Devirli Kalanlar)

Bir sayının birler basamağı, o sayının 10'a bölümünden kalanıdır. Kuvvet ifadelerinin birler basamağı, tabanın birler basamağına bakılarak devirli (periyodik) olarak bulunur.

Tabanların birler basamağı periyotları: - 0, 1, 5, 6 ile bitenler: her kuvvette aynı rakamla biter (devir 1). - 4 ile bitenler: tek kuvvette 4, çift kuvvette 6 (devir 2). - 9 ile bitenler: tek kuvvette 9, çift kuvvette 1 (devir 2). - 2, 3, 7, 8 ile bitenler: 4'lü devir vardır.

2'nin kuvvetleri için birler basamağı: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... (devir: 2-4-8-6)

Yöntem: Üssü 4'e böl, kalanına göre devirdeki yeri belirle. Kalan 0 ise (yani üs 4'ün katıysa) devrin son terimini al.

Önemli Formüller ve Kurallar

Kritik notlar: - Sondaki sıfır sayısında 2 değil 5 sayılır. - Kuvvet kalanlarında önce devir (periyot) bulunur, sonra üs devre bölünür. - Devre tam bölünüyorsa (kalan 0) devrin son terimi alınır.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Basit Faktöriyel Hesabı

6! / 3! işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: 6!'i 3!'e kadar açalım:

6! / 3! = (6 · 5 · 4 · 3!) / 3! = 6 · 5 · 4 = 120

Sonuç: 120

Örnek 2: Faktöriyel Oranını Sadeleştirme

10! / 8! işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Paydadaki 8!'e kadar açıyoruz:

10! / 8! = (10 · 9 · 8!) / 8! = 10 · 9 = 90

Sonuç: 90

Örnek 3: Ortak Çarpan Alma

(7! + 6!) / 6! ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm: Payda 7! = 7 · 6! yazalım ve ortak parantez alalım:

7! + 6! = 7 · 6! + 6! = 6!(7 + 1) = 6! · 8

Şimdi paydaya bölelim:

(6! · 8) / 6! = 8

Sonuç: 8

Örnek 4: Faktöriyel Denklemi

(n + 1)! / n! = 12 ise n kaçtır?

Çözüm: (n + 1)! = (n + 1) · n! özelliğini kullanalım:

(n + 1)! / n! = (n + 1) · n! / n! = n + 1

Buradan:

n + 1 = 12 ⟹ n = 11

Sonuç: n = 11

Örnek 5: Sondaki Sıfır Sayısı (Tek Adımlı)

20! sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?

Çözüm: Formülü uygulayalım:

[20/5] + [20/25] + ... = 4 + 0 = 4

(20/25 = 0,8 olduğundan tam değeri 0'dır ve toplam burada biter.)

Sonuç: 4 sıfır

Örnek 6: Sondaki Sıfır Sayısı (Çok Adımlı)

100! sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?

Çözüm: Formülü 5'in artan kuvvetleriyle uygulayalım:

[100/5] = 20 [100/25] = 4 [100/125] = 0 (burada dururuz)

Toplam: 20 + 4 + 0 = 24

Sonuç: 24 sıfır

Örnek 7: Saat Problemi (Modüler Mantık)

Şu an saat 20:00'dır. 100 saat sonra saat kaç olur?

Çözüm: Saatler mod 24 ile çalışır. Önce 100'ün 24'e bölümünden kalanı bulalım:

100 = 24 · 4 + 4 ⟹ 100 ≡ 4 (mod 24)

Yani 100 saat = 4 tam gün + 4 saat. Sadece 4 saat ilerleriz:

20 + 4 = 24 ≡ 0 (mod 24) ⟹ saat 00:00 (gece yarısı)

Sonuç: 00:00

Örnek 8: Kuvvetin Bölümünden Kalan (Devirli Kalan)

7^85 sayısının 5'e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: 7 ≡ 2 (mod 5) olduğundan 7^85 ≡ 2^85 (mod 5). 2'nin kuvvetlerinin mod 5 kalanları: - 2^1 ≡ 2 - 2^2 ≡ 4 - 2^3 ≡ 8 ≡ 3 - 2^4 ≡ 16 ≡ 1 (devir 4'tür: 2, 4, 3, 1)

Üssü devre (4'e) bölelim: 85 = 4 · 21 + 1, yani kalan 1. Devirdeki 1. terim 2'dir.

Sonuç: 2

Örnek 9: Birler Basamağı Bulma

3^47 sayısının birler basamağı kaçtır?

Çözüm: 3'ün kuvvetlerinin birler basamağı: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ... (devir 4: 3-9-7-1).

Üssü 4'e bölelim: 47 = 4 · 11 + 3, kalan 3. Devirdeki 3. terim 7'dir.

Sonuç: 7

Örnek 10: Üs 4'ün Katı Olduğunda Birler Basamağı

2^100 sayısının birler basamağı kaçtır?

Çözüm: 2'nin birler basamağı devri: 2, 4, 8, 6 (devir 4). Üssü 4'e bölelim:

100 = 4 · 25 + 0, yani kalan 0.

Kalan 0 olduğunda devrin son terimini alırız: 6.

Sonuç: 6