Sayi Problemleri — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Problemler · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Bilinmeyeni Belirleme

Bir sayı problemini çözmeye başlarken atılacak ilk adım, bilinmeyene bir harf (genellikle x) vermektir.

• Soruda "bir sayı" deniyorsa: x
• "İki sayı" varsa ve aralarında bir ilişki kurulmuşsa, biri x seçilir, diğeri x cinsinden yazılır.
• Mümkünse, en küçük veya en sade ifadeyi x seçmek işlemleri kolaylaştırır.

Altın Kural: Soruda sorulanı değil, denklemi en kolay kuracak ifadeyi x seçin. Sonunda sorulanı bulmayı unutmayın.

2. Sözel İfadeleri Matematik Diline Çevirme

Problem çözümünün kalbi burasıdır. Aşağıdaki tablo, en sık karşılaşılan kalıp ifadeleri ve bunların matematiksel karşılıklarını gösterir. Bir sayıya x dersek:

Dikkat — Konum Önemlidir! "Yarısının 6 fazlası" ile "6 fazlasının yarısı" farklı şeylerdir: - Yarısının 6 fazlası → (x/2) + 6 - 6 fazlasının yarısı → (x + 6)/2

Türkçede son söylenen işlem en dışta yapılır. "...nın yarısı" en sonda ise tüm ifade ikiye bölünür.

3. "İle, Daha, Toplam, Eşittir" Bağlaçları

• "... ise / ... olur / ... eder" → eşittir ( = )
• "toplamları ... dır" → x + y = ...
• "... den fazladır / büyüktür" → > (eşitsizlik)
• "... e eşittir" → =

4. Ardışık Sayı Problemleri

Ardışık sayılar, belirli bir kurala göre birbirini takip eden sayılardır.

a) Ardışık tam sayılar: x, x+1, x+2, x+3, ...

b) Ardışık çift sayılar: x, x+2, x+4, ... (x çift seçilir)

c) Ardışık tek sayılar: x, x+2, x+4, ... (x tek seçilir)

Not: Hem ardışık çift hem ardışık tek sayılarda artış miktarı 2'dir.

d) Ardışık 3'ün katları: x, x+3, x+6, ...

Faydalı özellik: Ardışık sayılarda ortadaki terim, aritmetik ortalamaya eşittir. Örneğin ardışık 3 sayının toplamı 5'in katlarından ise, ortadaki sayı = toplam / 3 olur. Bu, denklem kurmadan hızlı çözüm sağlar.

5. Basamak (Sayı Basamağı) Problemleri

Bir sayının basamak değerleri ile ilgili problemlerdir. En kritik kavram, rakam ile basamak değerini karıştırmamaktır.

İki basamaklı bir sayıyı düşünelim; onlar basamağındaki rakam a, birler basamağındaki rakam b olsun:

• Sayının okunuşu/değeri: 10a + b (rakamların yan yana yazılışı DEĞİL, basamak değerleriyle açılımı)
• Rakamları toplamı: a + b
• Rakamları çarpımı: a · b
• Rakamların yer değiştirmesiyle oluşan sayı: 10b + a

Üç basamaklı bir sayı (yüzler = a, onlar = b, birler = c): - Sayının değeri: 100a + 10b + c

Çok Önemli Kural: "ab" şeklinde yan yana yazılan iki basamaklı bir sayı, a·b (çarpım) değildir; değeri 10a + b'dir.

Yer değiştirme farkı: İki basamaklı bir sayı ile rakamları yer değiştirmiş hali arasındaki fark: (10a + b) − (10b + a) = 9(a − b) Yani bu fark her zaman 9'un katıdır.

Önemli Formüller ve Kurallar

• İki basamaklı sayı: 10a + b (a: onlar, b: birler)
• Üç basamaklı sayı: 100a + 10b + c
• Rakamları yer değiştirme farkı: 9(a − b)
• Ardışık n tam sayının toplamı = n × (ortadaki/ortalama terim) (n tek ise nettir)
• Ardışık iki sayının toplamı her zaman tektir (x + x + 1 = 2x + 1)
• İki sayının toplamı T, farkı F ise: Büyük sayı = (T + F) / 2 , Küçük sayı = (T − F) / 2
• Bir sayının karesi ile kendisinin farkı: x² − x = x(x − 1)
• "Yüzde", "kat", "fazlası", "eksiği" gibi her ifadeyi tabloya göre adım adım sembolize edin.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Bir sayının 3 katının 5 fazlası 26'dır. Bu sayı kaçtır?

Çözüm: - Sayı = x diyelim. - "3 katının 5 fazlası" → 3x + 5 - "26'dır" → = 26 - Denklem: 3x + 5 = 26 - 3x = 21 → x = 7

Sonuç: Sayı 7'dir.

Örnek 2:

Bir sayının yarısının 4 fazlası, aynı sayının 2 katının 11 eksiğine eşittir. Bu sayı kaçtır?

Çözüm: - Sayı = x. - Yarısının 4 fazlası → x/2 + 4 - 2 katının 11 eksiği → 2x − 11 - Denklem: x/2 + 4 = 2x − 11 - Tüm terimleri 2 ile çarpalım: x + 8 = 4x − 22 - 8 + 22 = 4x − x → 30 = 3x → x = 10

Sonuç: Sayı 10'dur.

Örnek 3:

Toplamları 84 olan iki sayıdan biri diğerinin 6 katıdır. Büyük sayı kaçtır?

Çözüm: - Küçük sayı = x olsun. Büyük sayı = 6x. - Toplam: x + 6x = 84 - 7x = 84 → x = 12 - Büyük sayı = 6x = 6 · 12 = 72

Sonuç: Büyük sayı 72'dir.

Örnek 4:

Ardışık üç tek sayının toplamı 51'dir. En büyük sayı kaçtır?

Çözüm: - Ardışık tek sayılar: x, x+2, x+4 - Toplam: x + (x+2) + (x+4) = 51 - 3x + 6 = 51 → 3x = 45 → x = 15 - Sayılar: 15, 17, 19 - En büyük = 19

Pratik yol: Ortadaki sayı = 51 / 3 = 17. En büyük = 17 + 2 = 19.

Sonuç: En büyük sayı 19'dur.

Örnek 5:

Ardışık iki çift sayının çarpımı 168'dir. Bu sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm: - Ardışık çift sayılar: x ve x+2. - Çarpım: x(x + 2) = 168 → x² + 2x − 168 = 0 - 168 = 12 · 14 olduğunu fark edersek (ardışık çiftler), sayılar 12 ve 14'tür. - (Denklemle: çarpanlara ayırarak x = 12 bulunur.) - Toplam = 12 + 14 = 26

Sonuç: Toplam 26'dır.

Örnek 6:

İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı 9'dur. Bu sayının rakamları yer değiştirdiğinde elde edilen sayı, ilk sayıdan 27 fazladır. İlk sayı kaçtır?

Çözüm: - İlk sayı: 10a + b. Rakamlar yer değiştirince: 10b + a. - Rakamlar toplamı: a + b = 9 - "27 fazladır": (10b + a) − (10a + b) = 27 → 9b − 9a = 27 → b − a = 3 - İki denklem: a + b = 9 ve b − a = 3 - Taraf tarafa toplarsak: 2b = 12 → b = 6, a = 3 - İlk sayı = 10a + b = 10·3 + 6 = 36

Sonuç: İlk sayı 36'dır.

Örnek 7:

Bir sayının 2 katının 3 fazlası ile, aynı sayının 5 fazlasının toplamı 50'dir. Bu sayı kaçtır?

Çözüm: - Sayı = x. - 2 katının 3 fazlası → 2x + 3 - 5 fazlası → x + 5 - Toplamları 50: (2x + 3) + (x + 5) = 50 - 3x + 8 = 50 → 3x = 42 → x = 14

Sonuç: Sayı 14'tür.

Örnek 8:

Bir sayının karesi, kendisinin 12 fazlasına eşittir. Bu sayının pozitif değeri kaçtır?

Çözüm: - Sayı = x. - Karesi → x² , 12 fazlası → x + 12 - Denklem: x² = x + 12 → x² − x − 12 = 0 - Çarpanlara ayıralım: (x − 4)(x + 3) = 0 - x = 4 veya x = −3 - Pozitif değer istendiği için x = 4.

Sonuç: Sayı 4'tür.

Örnek 9:

Bir kesirin payı ile paydası toplamı 40'tır. Pay, paydanın 3 katından 4 eksiktir. Bu kesrin payı kaçtır?

Çözüm: - Payda = x diyelim. Pay = 3x − 4. - Toplam: (3x − 4) + x = 40 - 4x − 4 = 40 → 4x = 44 → x = 11 (payda) - Pay = 3·11 − 4 = 33 − 4 = 29

Sonuç: Pay 29'dur.