ALES

Yas Problemleri — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Problemler · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Yaş Probleminin Mantığı

Bir kişinin bugünkü yaşına genellikle bir değişken atarız (örneğin x). Geçmişteki yaşı için bu değişkenden çıkarma, gelecekteki yaşı için ekleme yaparız:

Buradaki en kritik nokta şudur: Aynı zaman dilimini bütün kişilere aynı anda uygulamak gerekir. Yani "5 yıl sonra" diyorsak, o senaryodaki herkesin yaşına 5 eklenir; sadece bir kişiye eklenip diğerine eklenmemesi en sık yapılan hatadır.

İlke 1: Yaş Farkı Değişmez (Sabittir)

İki kişi arasındaki yaş farkı, geçmişte de gelecekte de bugünkü ile aynıdır. Çünkü ikisi de aynı miktarda yaşlanır.

Örneğin baba bugün 40, oğul bugün 10 yaşında ise aralarında 30 yaş fark vardır.

Bu yüzden "babanın yaşı oğlunun yaşının kaç katı?" gibi oran soruları zamanla değişse de, "aralarındaki fark kaç?" sorusunun cevabı hiç değişmez. Bu sabitliği denklem kurarken bir köprü olarak kullanırız.

İlke 2: n Kişinin Yaş Toplamı t Yıl Sonra (n × t) Artar

Bir grupta n kişi varsa, geçen her yılda her bir kişinin yaşı 1 artar. Dolayısıyla grubun yaşları toplamı her yıl n kadar artar.

Örnek: 3 kişilik bir ailenin bugünkü yaşları toplamı 90 ise, 5 yıl sonra toplam: 90 + 3 × 5 = 90 + 15 = 105 olur.

Dikkat: Eğer geçmişte gruba henüz doğmamış bir kişi varsa, bu kişinin yaşı geçmişte negatif olamaz; o dönemde toplam hesabına dahil edilmez. Bu ayrıntıya özellikle "çocuk doğmadan önce" tipindeki sorularda dikkat edilmelidir.

İlke 3: Yaş Oranı Problemleri

"Babanın yaşı oğlunun 3 katı" gibi bir oran verildiğinde, bunu denklem olarak yazarız:

Baba = 3 × Oğul

Oran zamanla değiştiği için, hem oranı hem de değişmeyen yaş farkını birlikte kullanmak çoğu soruyu kısa yoldan çözer. Şu temel ilişkiyi aklınızda tutun:

Yaş farkı = Büyük yaş − Küçük yaş = sabit

Eğer "büyük olan, küçüğün k katı" deniyorsa fark = (k − 1) × Küçük yaş olur.

Önemli Formüller ve Kurallar

Aşağıdaki gösterimde kişilerin bugünkü yaşları büyük harflerle (A, B, ...) ifade edilmiştir.

  1. a yıl sonraki yaş: A + a
  2. a yıl önceki yaş: A − a
  3. Yaş farkı sabittir: A − B = (A + t) − (B + t) = (A − t) − (B − t)
  4. n kişinin yaş toplamı t yıl sonra: (Toplam) + n·t
  5. n kişinin yaş toplamı t yıl önce: (Toplam) − n·t
  6. n kişinin yaş ortalaması: Toplam ÷ n - Ortalama t yıl sonra: (Ortalama) + t (ortalama her yıl tam 1 artar, kişi sayısından bağımsız)
  7. "Büyük, küçüğün k katı" ise: Büyük − Küçük = (k − 1)·Küçük
  8. Yaşları toplamı S, farkı F olan iki kişi: Büyük = (S + F)/2, Küçük = (S − F)/2

Altın kural: Bir soruda birden çok zaman dilimi (geçmiş + gelecek) geçiyorsa, çözümün anahtarı neredeyse her zaman "yaş farkının sabit olması" ilkesidir.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katıdır. Aralarındaki yaş farkı 27 olduğuna göre, oğul kaç yaşındadır?

Çözüm: Oğlun yaşı x olsun. Baba = 4x. Yaş farkı: 4x − x = 27 3x = 27 → x = 9

Sonuç: Oğul 9 yaşındadır (baba 36).

Örnek 2:

Ali ile Veli'nin bugünkü yaşları toplamı 48'dir. 6 yıl sonra yaşları toplamı kaç olur?

Çözüm: 2 kişi var (n = 2), 6 yıl sonra (t = 6). Toplam artışı: n × t = 2 × 6 = 12 6 yıl sonraki toplam: 48 + 12 = 60

Sonuç: 60.

Örnek 3:

Bir annenin bugünkü yaşı kızının yaşının 3 katıdır. 5 yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 2 katı olacaktır. Anne bugün kaç yaşındadır?

Çözüm: Kızın bugünkü yaşı x olsun → Anne = 3x. 5 yıl sonra: Anne = 3x + 5, Kız = x + 5. Verilen: 3x + 5 = 2·(x + 5) 3x + 5 = 2x + 10 x = 5 Anne = 3x = 3 × 5 = 15... kontrol edelim: 5 yıl sonra anne 20, kız 10 → 20 = 2 × 10 ✓

Burada hesap 15 çıktı; yeniden yazalım: Anne bugün 3x = 15 olur.

Sonuç: Anne bugün 15 yaşındadır. (Not: Bu örnekteki sayılar oranların nasıl işlediğini gösterir; gerçekçi sayılarla aynı yöntem geçerlidir.)

Örnek 4:

İki kardeşin yaşları toplamı 34, yaş farkı 8'dir. Büyük kardeş kaç yaşındadır?

Çözüm: Toplam-fark yöntemini kullanalım: Büyük = (S + F)/2 = (34 + 8)/2 = 42/2 = 21 Küçük = (S − F)/2 = (34 − 8)/2 = 26/2 = 13 Kontrol: 21 + 13 = 34 ✓, 21 − 13 = 8 ✓

Sonuç: Büyük kardeş 21 yaşındadır.

Örnek 5:

Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamına eşittir. 10 yıl sonra babanın yaşı, çocuklarının yaşları toplamından 10 eksik olacaktır. Babanın bugünkü yaşı kaçtır? (Bu örnekte tek bir denklem yeterli olmayabilir; ilişkiyi kuralım.)

Çözüm: Baba = B, çocukların yaşları toplamı = Ç olsun. Verilen: B = Ç. 10 yıl sonra: - Baba: B + 10 - Çocuklar (2 kişi): Ç + 2 × 10 = Ç + 20 Verilen: (B + 10) = (Ç + 20) − 10 B + 10 = Ç + 10 B = Ç ✓

Bu eşitlik her zaman sağlanır; yani verilen ikinci koşul birinciyle tutarlıdır ve babanın yaşı bu bilgilerle tek değer olarak bulunamaz. Soru ek bilgi gerektirir.

Sonuç: Verilen bilgilerle babanın yaşı tek olarak belirlenemez. (Bu örnek, "çocuk sayısı 2 olduğunda toplamın 20 arttığını" ve bazı koşulların yeni bilgi taşımadığını gösterir. Sınavda böyle bir durumda ek koşul aranmalıdır.)

Örnek 6:

Bugün Ayşe 12, annesi 38 yaşındadır. Kaç yıl sonra annenin yaşı Ayşe'nin yaşının 2 katı olur?

Çözüm: Aralarındaki fark sabit: 38 − 12 = 26 (hiç değişmez). Anne, Ayşe'nin 2 katı olduğunda fark = (2 − 1) × Ayşe = Ayşe yaşına eşittir. Yani o anda Ayşe'nin yaşı = fark = 26. Ayşe bugün 12, ileride 26 olacak → geçecek süre = 26 − 12 = 14 yıl. Kontrol: 14 yıl sonra Ayşe 26, anne 52 → 52 = 2 × 26 ✓

Sonuç: 14 yıl sonra.

Örnek 7:

Bir grupta 5 kişinin yaş ortalaması 24'tür. 4 yıl sonra bu grubun yaş ortalaması kaç olur?

Çözüm: Ortalama her geçen yıl tam 1 artar (kişi sayısı sabitse). 4 yıl sonra ortalama: 24 + 4 = 28.

(Doğrulama: Bugünkü toplam = 5 × 24 = 120. 4 yıl sonra toplam = 120 + 5 × 4 = 140. Yeni ortalama = 140 ÷ 5 = 28 ✓)

Sonuç: 28.

Örnek 8:

Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının 5 katıdır. 4 yıl önce babanın yaşı oğlunun yaşının 9 katıydı. Babanın bugünkü yaşı kaçtır?

Çözüm: Oğlun bugünkü yaşı x → Baba = 5x. 4 yıl önce: Baba = 5x − 4, Oğul = x − 4. Verilen: 5x − 4 = 9·(x − 4) 5x − 4 = 9x − 36 −4 + 36 = 9x − 5x 32 = 4x → x = 8 Baba = 5x = 5 × 8 = 40. Kontrol: 4 yıl önce baba 36, oğul 4 → 36 = 9 × 4 ✓

Sonuç: Baba bugün 40 yaşındadır.

Örnek 9:

Üç kişinin bugünkü yaşları toplamı 60'tır. Bunlardan en küçüğü 6 yıl önce henüz doğmamıştır (yani 6 yaşındadır bugün). 6 yıl önce diğer iki kişinin yaşları toplamı kaçtı?

Çözüm: Bugün toplam = 60, en küçük = 6. Diğer iki kişinin bugünkü toplamı = 60 − 6 = 54. 6 yıl önce bu iki kişi (n = 2) için: 54 − 2 × 6 = 54 − 12 = 42.

Sonuç: 6 yıl önce diğer ikisinin yaşları toplamı 42 idi.

Bu konuyu çöz: alıştırmaları interaktif olarak çöz, cevap anahtarıyla karşılaştır.

Alıştırmaları Çöz →