Yuzde Problemleri — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Problemler · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Yüzde Kavramı Nedir?

Yüzde, bir bütünün 100 eşit parçaya bölünmesiyle elde edilen parçalardan kaç tanesinin alındığını gösteren orandır. "%" sembolü ile gösterilir ve "yüzde" diye okunur.

%a ifadesi matematiksel olarak şu anlama gelir:

$$\%a = \frac{a}{100}$$

Örneğin: - %25 = 25/100 = 1/4 - %50 = 50/100 = 1/2 - %20 = 20/100 = 1/5 - %75 = 75/100 = 3/4

Yani "%25" demek, "bir bütünün yüzde yirmi beşi", yani dörtte biri demektir.

Bir Sayının Yüzdesini Bulma

Bir A sayısının %a'sını bulmak için sayıyı a/100 ile çarparız:

$$A \text{ sayısının } \%a'sı = A \times \frac{a}{100}$$

Örnek: 200 sayısının %15'i kaçtır?

$$200 \times \frac{15}{100} = 2 \times 15 = 30$$

Pratik yöntem: "100'ün kaçta kaçı" mantığıyla düşünün. 200 sayısı, 100'ün 2 katıdır. %15 = 15 olduğundan, 200'ün %15'i = 2 × 15 = 30.

Bir Sayı, Diğerinin Yüzde Kaçıdır?

B sayısının, A sayısının yüzde kaçı olduğunu bulmak için:

$$\text{Yüzde} = \frac{B}{A} \times 100$$

Örnek: 30 sayısı, 120 sayısının yüzde kaçıdır?

$$\frac{30}{120} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = \%25$$

Yüzdesi Verilen Sayıyı (Bütünü) Bulma

Bir sayının %a'sı biliniyorsa ve sayının kendisini bulmak istiyorsak ters orantı kurarız.

Örnek: Bir sayının %20'si 50 ise, sayı kaçtır?

$$\text{Sayı} \times \frac{20}{100} = 50 \implies \text{Sayı} = 50 \times \frac{100}{20} = 250$$

Yüzde Artış (Zam)

Bir miktar %a oranında artarsa, yeni değer şöyle hesaplanır:

$$\text{Yeni Değer} = \text{Eski Değer} \times \left(1 + \frac{a}{100}\right)$$

Örnek: 400 TL'lik bir ürüne %25 zam yapılırsa yeni fiyat:

$$400 \times \left(1 + \frac{25}{100}\right) = 400 \times 1{,}25 = 500 \text{ TL}$$

Buradaki çarpan (1,25) çok önemlidir. %25 artış demek, "1,25 ile çarpmak" demektir.

Yüzde Azalış (İndirim)

Bir miktar %a oranında azalırsa, yeni değer:

$$\text{Yeni Değer} = \text{Eski Değer} \times \left(1 - \frac{a}{100}\right)$$

Örnek: 600 TL'lik bir ürüne %30 indirim yapılırsa yeni fiyat:

$$600 \times \left(1 - \frac{30}{100}\right) = 600 \times 0{,}70 = 420 \text{ TL}$$

Ardışık Yüzde Değişimleri

Bir değer üzerinde arka arkaya birden fazla yüzde değişimi yapılıyorsa, çarpanları çarparız. Yüzdeleri asla doğrudan toplayıp çıkaramayız!

$$\text{Sonuç} = \text{Başlangıç} \times \text{Çarpan}_1 \times \text{Çarpan}_2 \times \dots$$

Örnek: 1000 TL'ye önce %20 zam, sonra %20 indirim yapılırsa:

$$1000 \times 1{,}20 \times 0{,}80 = 1000 \times 0{,}96 = 960 \text{ TL}$$

Dikkat! Sonuç 1000 TL değil, 960 TL'dir. Yani değer %4 azalmıştır. Bu, sınavın en sevdiği tuzaklardan biridir (Püf Noktaları bölümünde detaylandırılmıştır).

Yüzde – Kesir – Oran İlişkisi

Yüzde, kesir ve oran aslında aynı bilginin farklı gösterimleridir. Sınavda hızlı çözüm için bu dönüşümleri ezberlemek çok faydalıdır:

Oran ilişkisi: Bir A sayısı, B sayısının %40'ı ise, A/B = 40/100 = 2/5 oranındadır. Yani yüzde ifadesi doğrudan bir orana çevrilebilir.

Önemli Formüller ve Kurallar

1. Yüzde tanımı: $$\%a = \frac{a}{100}$$

2. Bir sayının yüzdesi: $$A'nın\ \%a'sı = A \times \frac{a}{100}$$

3. Yüzde kaçtır: $$\frac{\text{Parça}}{\text{Bütün}} \times 100$$

4. Yüzde artış (zam) çarpanı: $$\text{Çarpan} = 1 + \frac{a}{100}$$

5. Yüzde azalış (indirim) çarpanı: $$\text{Çarpan} = 1 - \frac{a}{100}$$

6. Ardışık değişimler: Çarpanlar çarpılır, yüzdeler toplanmaz.

7. İki ardışık değişim için pratik formül: Bir miktar önce %x, sonra %y değişirse net değişim: $$x + y + \frac{x \cdot y}{100}$$ (artış için +, azalış için ilgili değer eksi işaretli alınır)

• Örnek (%20 artış, %20 azalış): $20 + (-20) + \frac{20 \cdot (-20)}{100} = -4 \implies \%4\text{ azalış}$

8. Bütünü bulma: Yüzdesi verilen değerden bütüne giderken ters orantı kurulur: $$\text{Bütün} = \frac{\text{Verilen Değer} \times 100}{\text{Verilen Yüzde}}$$

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Bir sayının %35'i 70'tir. Bu sayının %50'si kaçtır?

Çözüm:

Önce sayının kendisini bulalım. Sayıya x diyelim:

$$x \times \frac{35}{100} = 70 \implies x = 70 \times \frac{100}{35} = 200$$

Sayının %50'si:

$$200 \times \frac{50}{100} = 100$$

Sonuç: 100

Örnek 2:

Bir mağazada fiyatı 800 TL olan bir ceket önce %25 zamlanmış, daha sonra zamlı fiyat üzerinden %20 indirim yapılmıştır. Ceketin son fiyatı kaç TL'dir?

Çözüm:

Çarpan yöntemiyle gidelim. %25 zam çarpanı 1,25; %20 indirim çarpanı 0,80.

$$800 \times 1{,}25 \times 0{,}80$$

Adım adım: - $800 \times 1{,}25 = 1000$ TL (zamlı fiyat) - $1000 \times 0{,}80 = 800$ TL (indirimli fiyat)

İlginç bir şekilde son fiyat yine başlangıçtaki gibi 800 TL çıkmıştır.

Sonuç: 800 TL

Örnek 3:

Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı kızdır. Kız öğrenci sayısı 24 ise, sınıftaki erkek öğrenci sayısı kaçtır?

Çözüm:

Toplam öğrenci sayısına x diyelim. Kızlar %60 olduğuna göre:

$$x \times \frac{60}{100} = 24 \implies x = 24 \times \frac{100}{60} = 40$$

Toplam 40 öğrenci var. Erkekler %40 olduğundan:

$$40 - 24 = 16 \quad \text{veya} \quad 40 \times \frac{40}{100} = 16$$

Sonuç: 16 erkek öğrenci

Örnek 4:

Bir ürünün fiyatına %20 zam yapıldıktan sonra, fiyatın tekrar eski değerine düşmesi için yüzde kaç indirim yapılmalıdır?

Çözüm:

Eski fiyata 100 TL diyelim (kolaylık için). %20 zamla yeni fiyat:

$$100 \times 1{,}20 = 120 \text{ TL}$$

Şimdi 120 TL'den tekrar 100 TL'ye dönmek için yapılması gereken indirim miktarı 20 TL'dir. Ancak indirim oranı 120 üzerinden hesaplanır (zamlı fiyat üzerinden):

$$\frac{20}{120} \times 100 = \%16{,}67 \approx \%16,\overline{6}$$

Dikkat: İndirim oranı %20 değildir! Çünkü zam küçük sayı üzerinden, indirim büyük sayı üzerinden yapılır.

Sonuç: Yaklaşık %16,67 indirim

Örnek 5:

Bir şehrin nüfusu birinci yıl %10 artmış, ikinci yıl %10 azalmıştır. İki yıl sonunda nüfus, başlangıca göre yüzde kaç değişmiştir?

Çözüm:

Çarpanları çarpalım: %10 artış → 1,10 ; %10 azalış → 0,90

$$1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99$$

Sonuç çarpanı 0,99 olduğundan, nüfus başlangıcın %99'una düşmüştür. Yani:

$$1 - 0{,}99 = 0{,}01 = \%1 \text{ azalış}$$

Sonuç: %1 azalmıştır

Örnek 6:

Bir öğrenci, bir kitabın önce %40'ını, ertesi gün kalan sayfaların %25'ini okumuştur. Kitabın yüzde kaçı okunmamıştır?

Çözüm:

Kitabın tamamı 1 (yani %100) olsun.

• İlk gün okunan: kitabın %40'ı → kalan = %60
• İkinci gün okunan: kalanın (%60'ın) %25'i:

$$60 \times \frac{25}{100} = \%15$$

Toplam okunan: %40 + %15 = %55

Okunmayan kısım:

$$100 - 55 = \%45$$

Sonuç: %45'i okunmamıştır

Örnek 7:

Maaşı 12.000 TL olan bir çalışana %15 zam yapılmıştır. Zamdan sonra maaşının %20'si vergi olarak kesilirse, çalışanın eline geçen net maaş kaç TL'dir?

Çözüm:

Önce zamlı maaşı bulalım (%15 zam → çarpan 1,15):

$$12.000 \times 1{,}15 = 13.800 \text{ TL}$$

Şimdi %20 vergi kesintisi (eline geçen = %80, yani çarpan 0,80):

$$13.800 \times 0{,}80 = 11.040 \text{ TL}$$

Sonuç: 11.040 TL

Örnek 8:

Bir A sayısı, B sayısından %25 fazladır. Buna göre B sayısı, A sayısından yüzde kaç eksiktir?

Çözüm:

B sayısına pratik bir değer verelim: B = 100 olsun.

A, B'den %25 fazla olduğundan:

$$A = 100 \times 1{,}25 = 125$$

Şimdi B'nin (100), A'dan (125) ne kadar eksik olduğunu A üzerinden hesaplayalım. Fark = 125 − 100 = 25.

$$\frac{25}{125} \times 100 = \%20$$

Dikkat: "%25 fazla" ile "%20 eksik" simetrik değildir, çünkü oranlar farklı tabanlara göre alınır.

Sonuç: B sayısı, A sayısından %20 eksiktir

Örnek 9:

Bir esnaf, maliyeti 250 TL olan bir ürünü %40 kârla satmak istemektedir. Ancak müşteriye etiket fiyatı üzerinden %10 indirim yapmaktadır. Esnafın bu satıştan elde ettiği kâr kaç TL'dir?

Çözüm:

Önce %40 kârlı etiket fiyatını bulalım (çarpan 1,40):

$$250 \times 1{,}40 = 350 \text{ TL (etiket fiyatı)}$$

%10 indirimle satış fiyatı (çarpan 0,90):

$$350 \times 0{,}90 = 315 \text{ TL (satış fiyatı)}$$

Kâr = Satış fiyatı − Maliyet:

$$315 - 250 = 65 \text{ TL}$$

Sonuç: 65 TL kâr