Permutasyon — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Olasilik Istatistik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Sayma Temel İlkeleri

Permütasyona geçmeden önce iki temel sayma ilkesini bilmek gerekir.

a) Toplama Yolu (Toplama İlkesi)

Bir iş ya A yoluyla ya da B yoluyla yapılabiliyorsa (yani seçenekler birbirinin alternatifiyse, aynı anda gerçekleşmiyorsa), toplam yol sayısı seçeneklerin toplamıdır.

• A işi m farklı şekilde, B işi n farklı şekilde yapılabilsin.
• A veya B yapılacaksa: m + n farklı yol vardır.

Örnek: Bir öğrenci okula gitmek için 3 farklı otobüs veya 2 farklı dolmuş kullanabiliyorsa, okula gitmenin toplam yolu 3 + 2 = 5'tir. (Aynı anda hem otobüse hem dolmuşa binemez; "veya" durumu vardır.)

b) Çarpma Yolu (Çarpma İlkesi)

Bir iş art arda gelen aşamalardan oluşuyorsa (önce A, sonra B yapılıyorsa), toplam yol sayısı aşamaların çarpımıdır.

• A işi m farklı şekilde, ardından B işi n farklı şekilde yapılabilsin.
• Önce A ve sonra B yapılacaksa: m × n farklı yol vardır.

Örnek: Bir kişinin 3 farklı gömleği ve 2 farklı pantolonu varsa, bir gömlek ve bir pantolon giyme yolu 3 × 2 = 6'dır.

Anahtar ayrım: "veya" → topla, "ve / sonra / ardından" → çarp.

2. Faktöriyel (n!)

1'den n'ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.

n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 3 × 2 × 1

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 3! = 6, 2! = 2, 1! = 1
• Tanım gereği: 0! = 1

Faktöriyel, n farklı nesnenin tamamının kaç farklı şekilde sıralanacağını verir. Örneğin 3 farklı kitap rafa 3! = 6 farklı şekilde dizilir.

3. n Elemanın r'li Permütasyonu — P(n, r)

n farklı nesneden r tanesinin sıralı olarak seçilip dizilmesine "n'nin r'li permütasyonu" denir.

P(n, r) = n! / (n − r)!

• Burada sıra önemlidir: (A, B) ile (B, A) farklı sayılır.
• Koşul: n ≥ r olmalıdır.
• r = n olduğunda P(n, n) = n! / 0! = n! olur (tüm elemanların sıralanışı).

Mantığı (çarpma yolu ile): İlk yer için n seçenek, ikinci yer için (n−1) seçenek, ... r'inci yer için (n−r+1) seçenek vardır:

P(n, r) = n × (n−1) × (n−2) × ... × (n − r + 1)   (toplam r çarpan)

Örnek: 5 kişiden 2'sinin (başkan ve yardımcı olarak) seçilişi: P(5, 2) = 5! / 3! = 5 × 4 = 20.

4. Dairesel (Çembersel) Permütasyon

Nesneler bir çember etrafında (yuvarlak masa gibi) dizildiğinde, dönme ile elde edilen dizilişler aynı sayılır. Bu yüzden bir nesne sabitlenir, kalanlar sıralanır:

n nesnenin dairesel permütasyonu = (n − 1)!

Örnek: 5 kişi yuvarlak bir masaya (5 − 1)! = 4! = 24 farklı şekilde oturur.

Not: Eğer çembersel dizilişte saat yönü ile ters yön aynı kabul ediliyorsa (örneğin kolyeye boncuk dizmek, çevrilebilir takı), sonuç ikiye bölünür: (n − 1)! / 2.

5. Tekrarlı (Aynı Elemanlı) Permütasyon

Sıralanacak nesnelerin bir kısmı birbirinin aynısıysa, aynı elemanların kendi aralarındaki diziliş farkı sayılmamalıdır. n nesnenin içinde bazıları p tane, q tane, r tane ... aynı ise:

Sıralama sayısı = n! / (p! × q! × r! × ...)

Örnek: "ELMA" kelimesinin harfleri 4! = 24 şekilde dizilir (tüm harfler farklı). Ancak "ANNE" kelimesinde 2 tane N olduğundan: 4! / 2! = 12 farklı diziliş vardır.

6. Harf ve Rakam Sıralama Problemleri

Bu problemler permütasyonun en yaygın uygulamasıdır. Dikkat edilmesi gerekenler:

• Rakamlarda baştaki sıfır: Bir sayının ilk basamağı 0 olamaz; bu durum ayrıca hesaba katılır.
• Rakam/harf tekrarı serbest mi yasak mı? Tekrar serbestse çarpma ilkesi (her basamak için aynı sayıda seçenek), tekrar yasaksa permütasyon kullanılır.
• Belirli koşullar: "Sesli/sessiz harf yan yana", "çift sayı", "belirli harfle başlama" gibi kısıtlar adım adım uygulanır.

Önemli Formüller ve Kurallar

Pratik kurallar:

• P(n, 1) = n, P(n, 0) = 1, P(n, n) = n!
• Faktöriyel sadeleştirmesi: n! = n × (n−1)! şeklinde açılarak bölme kolaylaştırılır. Örnek: 10! / 8! = (10 × 9 × 8!) / 8! = 10 × 9 = 90.
• "Birlikte/yan yana bulunma" koşulunda, birlikte olacak nesneler tek bir blok sayılır; blok içi sıralama ayrıca çarpılır.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

6 farklı kitap bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm: - Tüm 6 kitabın sıralanması istendiğinden P(6, 6) = 6! hesaplanır. - 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.

Sonuç: 720

Örnek 2:

8 koşucunun katıldığı bir yarışta ilk 3 derece (1., 2., 3.) kaç farklı şekilde oluşabilir?

Çözüm: - Sıra önemlidir (1. ile 2. olmak farklıdır), 8 kişiden 3'ü sıralı seçilir. - P(8, 3) = 8! / (8 − 3)! = 8! / 5! = 8 × 7 × 6 = 336.

Sonuç: 336

Örnek 3:

"KALEM" kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm: - KALEM kelimesinde 5 harf vardır ve hepsi farklıdır (K, A, L, E, M). - 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Sonuç: 120

Örnek 4:

"MATEMATİK" kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm: - Kelimede 9 harf vardır: M, A, T, E, M, A, T, İ, K. - Tekrar eden harfler: M → 2 tane, A → 2 tane, T → 2 tane. - Tekrarlı permütasyon: 9! / (2! × 2! × 2!) = 362880 / 8 = 45360.

Sonuç: 45360

Örnek 5:

6 kişi yuvarlak bir masanın etrafına kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm: - Dairesel permütasyon kullanılır: (n − 1)! - (6 − 1)! = 5! = 120.

Sonuç: 120

Örnek 6:

0, 1, 2, 3, 4 rakamları ile rakamları farklı (tekrarsız) üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözüm: - Üç basamaklı sayıda ilk basamak (yüzler) 0 olamaz. - Yüzler basamağı: 0 hariç 4 seçenek (1, 2, 3, 4). - Onlar basamağı: kalan 4 rakamdan (0 dahil) biri → 4 seçenek. - Birler basamağı: kalan 3 rakamdan biri → 3 seçenek. - Çarpma ilkesi: 4 × 4 × 3 = 48.

Sonuç: 48

Örnek 7:

5 erkek ve 3 kadın bir sıraya, kadınlar yan yana olacak şekilde kaç farklı biçimde dizilebilir?

Çözüm: - Kadınlar yan yana olacağından 3 kadın tek bir blok sayılır. - Bu durumda dizilecek nesneler: 5 erkek + 1 kadın bloğu = 6 nesne. - 6 nesnenin sıralanışı: 6! = 720. - Blok içindeki 3 kadın kendi aralarında: 3! = 6 farklı şekilde dizilir. - Çarpma ilkesi: 720 × 6 = 4320.

Sonuç: 4320

Örnek 8:

"FİZİK" kelimesinin harfleri ile, F harfi başta olacak şekilde kaç farklı dizilim yapılabilir?

Çözüm: - FİZİK kelimesinde 5 harf vardır: F, İ, Z, İ, K. Burada İ harfi 2 kez tekrar eder. - F harfi başta sabittir; geriye kalan 4 harf (İ, Z, İ, K) sıralanacaktır. - Kalan 4 harf içinde İ → 2 tane olduğundan: 4! / 2! = 24 / 2 = 12.

Sonuç: 12

Örnek 9:

7 farklı renkli boncuk bir ipliğe (çevrilebilir kolye) kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm: - Dairesel diziliş: (7 − 1)! = 6! = 720. - Kolye çevrilebildiğinden saat yönü ve ters yön aynı sayılır, sonuç ikiye bölünür. - 720 / 2 = 360.

Sonuç: 360