Sayisal Mantik — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Olasilik Istatistik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Sayısal mantık sorularını çözmek için önce karşımıza çıkabilecek örüntü (kural) tiplerini tanımamız gerekir.

1. Aritmetik Diziler (Sabit Fark)

Her terim, bir önceki terime sabit bir sayı eklenerek (veya çıkarılarak) elde edilir. Bu sabit sayıya ortak fark denir.

Örnek: 3, 7, 11, 15, 19, ... Burada her terim bir öncekinden 4 fazladır. Ortak fark +4'tür.

Bir sonraki terim: 19 + 4 = 23

n. terim formülü: aₙ = a₁ + (n - 1) · d Burada a₁ = ilk terim, d = ortak fark.

2. Geometrik Diziler (Sabit Oran)

Her terim, bir önceki terimin sabit bir sayı ile çarpılmasıyla elde edilir. Bu sabit sayıya ortak oran denir.

Örnek: 2, 6, 18, 54, ... Her terim bir öncekinin 3 katıdır. Ortak oran ×3'tür.

Bir sonraki terim: 54 × 3 = 162

n. terim formülü: aₙ = a₁ · r^(n-1) Burada r = ortak oran.

3. Fark Dizileri (Artan/Azalan Fark)

Ardışık terimler arasındaki fark sabit değildir, ama farkların kendisi bir kural izler. Bu durumda terimlerin altına farkları yazıp, farkların örüntüsünü ararız.

Örnek: 2, 3, 5, 8, 12, 17, ... Farklar: +1, +2, +3, +4, +5 (farklar 1'er artıyor)

Bir sonraki fark +6 olur: 17 + 6 = 23

4. Kareler ve Küpler Dizileri

Sayıların tam kareler (1, 4, 9, 16, 25, ...) veya tam küpler (1, 8, 27, 64, ...) olup olmadığına bakılır. Bazen kare/küplere küçük eklemeler yapılır.

Kareler: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36 ... Küpler: 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125 ...

Örnek: 2, 5, 10, 17, 26, ... Bu sayılar n² + 1 kuralındadır: 1+1, 4+1, 9+1, 16+1, 25+1

5. İki İşlemin Karışımı (Bileşik Diziler)

Bazı dizilerde her adımda iki farklı işlem dönüşümlü uygulanır ya da bir terim önceki birkaç terimden üretilir (Fibonacci gibi).

Örnek (dönüşümlü): 3, 6, 4, 8, 6, 12, ... Kural: ×2, -2, ×2, -2, ... → 3×2=6, 6-2=4, 4×2=8, 8-2=6, 6×2=12

Örnek (Fibonacci tipi): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Her terim önceki iki terimin toplamıdır.

6. Şekil-Sayı İlişkileri ve Kutu/Tablo Örüntüleri

Sayılar bir tablo, kutu, üçgen veya daire içine yerleştirilir. Burada amaç, çevredeki (köşelerdeki) sayılarla ortadaki sayı arasındaki ilişkiyi bulmaktır. Sık kullanılan ilişkiler:

• Köşelerin toplamı = ortadaki sayı
• Köşelerin çarpımı = ortadaki sayı
• Köşelerin toplamı/çarpımı ÷ bir sayı = ortadaki sayı
• Çapraz veya satır/sütun ilişkileri

7. Analojiler (Orantı/İlişki Kurma)

"A, B'ye benziyorsa; C, neye benzer?" mantığıyla çözülür. İlk çiftteki ilişkiyi bulup ikinci çifte uygularız.

Örnek: 4 : 16 ise 5 : ? İlişki: kare alma (4² = 16). Öyleyse 5² = 25.

8. Mantık Yürütme (Sözel-Sayısal)

Verilen koşullardan (büyüktür, küçüktür, ardışıktır vb.) yola çıkarak çıkarım yapılır. Eleme yöntemi ve koşulları sırayla uygulamak önemlidir.

Önemli Stratejiler ve İpuçları

1. Önce farklara bak. Ardışık terimler arasındaki farkı hesapla. Fark sabitse aritmetik dizidir.

2. Fark sabit değilse oranlara bak. Bir terimi bir öncekine böl. Oran sabitse geometrik dizidir.

3. Farkların da farkına bak (ikinci fark). Birinci farklar düzenli artıyor/azalıyorsa, ikinci farkları incele. Bu kareli/parabolik örüntüye işaret eder.

4. Tam kare ve küpleri ezbere bil. 1-15 arası kareleri ve 1-6 arası küpleri tanımak çok zaman kazandırır.

5. Dönüşümlü (alternatif) örüntüleri unutma. Bazı dizilerde tek ve çift sıradaki terimler ayrı kurallara uyar. Terimleri tek/çift olarak ikiye ayır.

6. Şekil sorularında çözülmüş kutuları kullan. Tam verilen kutuların kuralını dene, sonra aynı kuralı eksik kutuya uygula. Birden fazla kutu varsa kural hepsinde tutmalıdır.

7. Analojilerde ilişkiyi netleştir. Toplama mı, çarpma mı, kare mi, yarısı mı? İlişkiyi bir cümleyle ifade et, sonra ikinci çifte uygula.

8. Birden fazla ihtimal varsa şıklarla doğrula. Bulduğun kuralı diziye baştan sona uygula; her terimi tutmalıdır.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Aritmetik Dizi

5, 11, 17, 23, ? dizisinde "?" yerine hangi sayı gelmelidir?

Çözüm: - Adım 1: Ardışık farklara bakalım: 11-5=6, 17-11=6, 23-17=6. - Adım 2: Fark sabit (+6), yani aritmetik dizi. - Adım 3: Son terime farkı ekleyelim: 23 + 6 = 29.

Sonuç: 29

Örnek 2: Geometrik Dizi

3, 12, 48, ? dizisinde "?" kaçtır?

Çözüm: - Adım 1: Oranlara bakalım: 12÷3=4, 48÷12=4. - Adım 2: Ortak oran ×4, geometrik dizi. - Adım 3: 48 × 4 = 192.

Sonuç: 192

Örnek 3: Artan Fark Dizisi

1, 2, 4, 7, 11, ? dizisinde "?" kaçtır?

Çözüm: - Adım 1: Farklar: 2-1=1, 4-2=2, 7-4=3, 11-7=4. - Adım 2: Farklar 1, 2, 3, 4 şeklinde 1'er artıyor. - Adım 3: Bir sonraki fark 5 olur: 11 + 5 = 16.

Sonuç: 16

Örnek 4: Tam Kareler İlişkisi

2, 5, 10, 17, ? dizisinde "?" kaçtır?

Çözüm: - Adım 1: Sayıları kareler cinsinden yazalım: 1+1=2, 4+1=5, 9+1=10, 16+1=17. - Adım 2: Kural: n² + 1 (n = 1, 2, 3, 4, ...). - Adım 3: Sıradaki terim n=5 için: 5² + 1 = 25 + 1 = 26.

Sonuç: 26

Örnek 5: Küpler İlişkisi

0, 7, 26, 63, ? dizisinde "?" kaçtır?

Çözüm: - Adım 1: Küplere yakınlığı deneyelim: 1-1=0, 8-1=7, 27-1=26, 64-1=63. - Adım 2: Kural: n³ - 1 (n = 1, 2, 3, 4, ...). - Adım 3: Sıradaki terim n=5 için: 5³ - 1 = 125 - 1 = 124.

Sonuç: 124

Örnek 6: Dönüşümlü (Alternatif) İşlem

4, 7, 14, 17, 34, ? dizisinde "?" kaçtır?

Çözüm: - Adım 1: İşlemleri tek tek inceleyelim: 4+3=7, 7×2=14, 14+3=17, 17×2=34. - Adım 2: Kural dönüşümlü: +3, ×2, +3, ×2, ... - Adım 3: 34'ten sonra +3 gelir: 34 + 3 = 37.

Sonuç: 37

Örnek 7: Fibonacci Tipi (Önceki Terimlerin Toplamı)

2, 3, 5, 8, 13, ? dizisinde "?" kaçtır?

Çözüm: - Adım 1: Her terimi önceki ikisiyle karşılaştıralım: 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13. - Adım 2: Kural: her terim önceki iki terimin toplamı. - Adım 3: 8 + 13 = 21.

Sonuç: 21

Örnek 8: Üçgen İçindeki Sayı Bilmecesi

Üçgenlerin köşelerine sayılar, ortasına bir sayı yazılmıştır. İlk iki üçgendeki kuraldan üçüncüdeki "?" sayısını bulun.

Birinci üçgen: köşeler 2, 3, 4 → orta = 9 İkinci üçgen: köşeler 3, 1, 5 → orta = 9 Üçüncü üçgen: köşeler 4, 2, 6 → orta = ?

Çözüm: - Adım 1: Birinci üçgende köşelerin toplamı: 2 + 3 + 4 = 9. Orta = 9. Uyuyor. - Adım 2: İkinci üçgende: 3 + 1 + 5 = 9. Orta = 9. Kural doğrulandı: orta = köşelerin toplamı. - Adım 3: Üçüncü üçgen: 4 + 2 + 6 = 12.

Sonuç: 12

Örnek 9: Kutu (Tablo) İçindeki Sayı Kuralı

Aşağıdaki kutularda köşelerdeki sayılarla ortadaki sayı arasında aynı ilişki vardır.

Kutu 1:        Kutu 2:        Kutu 3:
3   5          2   4          5   3
  16             14             ?
2   6          3   5          4   2

Çözüm: - Adım 1: Kutu 1'de köşeler 3, 5, 2, 6. Toplam = 16. Orta = 16. Uyuyor. - Adım 2: Kutu 2'de köşeler 2, 4, 3, 5. Toplam = 14. Orta = 14. Kural: orta = köşelerin toplamı. - Adım 3: Kutu 3: 5 + 3 + 4 + 2 = 14.

Sonuç: 14

Örnek 10: Analoji (İlişki Kurma)

3 : 10 ise 5 : ? (İlişki ilk çiftte kurulmuş, aynı kuralı ikinci çifte uygulayın.)

Çözüm: - Adım 1: İlk çiftteki ilişkiyi bulalım. 3'ten 10'a: 3² + 1 = 10. - Adım 2: Kuralı doğrulayalım: 3 × 3 = 9, +1 = 10. Tutuyor. - Adım 3: Aynı kuralı 5'e uygula: 5² + 1 = 25 + 1 = 26.

Sonuç: 26

Örnek 11: Daire İçindeki Sayı Bilmecesi (Çarpım İlişkisi)

Dairelerin dışındaki iki sayının ilişkisinden, ortadaki sayı üretiliyor.

Daire 1: dış sayılar 4 ve 3 → orta 12
Daire 2: dış sayılar 6 ve 5 → orta 30
Daire 3: dış sayılar 7 ve 4 → orta ?

Çözüm: - Adım 1: Daire 1: 4 × 3 = 12. Orta = 12. Uyuyor. - Adım 2: Daire 2: 6 × 5 = 30. Orta = 30. Kural: orta = dış sayıların çarpımı. - Adım 3: Daire 3: 7 × 4 = 28.

Sonuç: 28

Örnek 12: İkinci Fark (Parabolik) Örüntü

3, 6, 11, 18, 27, ? dizisinde "?" kaçtır?

Çözüm: - Adım 1: Birinci farklar: 6-3=3, 11-6=5, 18-11=7, 27-18=9. - Adım 2: Bu farklar 3, 5, 7, 9 şeklinde 2'şer artıyor (ikinci fark sabit = 2). - Adım 3: Sıradaki birinci fark 9 + 2 = 11; o halde 27 + 11 = 38.

Sonuç: 38

Örnek 13: Mantık Yürütme

Üç ardışık çift sayının toplamı 36'dır. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Çözüm: - Adım 1: Ortadaki çift sayıya x diyelim. Üç ardışık çift sayı: x-2, x, x+2. - Adım 2: Toplam: (x-2) + x + (x+2) = 3x = 36, yani x = 12. - Adım 3: Sayılar 10, 12, 14. En büyüğü 14.

Sonuç: 14