Asal Çarpanlar OBEB OKEK — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Temel Matematik · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Asal Sayı Nedir?

Asal sayı, 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayıdır.

• İlk asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
• 2, tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tektir.
• 1 asal sayı değildir (yalnızca tek böleni vardır: kendisi).
• 0 asal sayı değildir.

2. Asal Çarpanlara Ayırma

Her pozitif tam sayı (1 hariç), asal sayıların çarpımı şeklinde tek bir biçimde yazılabilir. Buna Aritmetiğin Temel Teoremi denir.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için, sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam ederiz:

360 | 2
180 | 2
 90 | 2
 45 | 3
 15 | 3
  5 | 5
  1

Buradan:

360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5¹

Genel gösterim: Bir N sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında

N = a^p × b^q × c^r × ...

şeklinde yazılır. Burada a, b, c farklı asal sayılar; p, q, r ise bunların kuvvetleridir.

3. Bir Sayının Pozitif Bölen (Çarpan) Sayısı

N = a^p × b^q × c^r ise, N'nin pozitif bölen sayısı:

Bölen Sayısı = (p + 1) × (q + 1) × (r + 1) × ...

Her asal çarpanın kuvvetine 1 eklenir ve sonuçlar çarpılır.

Örnek: 360 = 2³ × 3² × 5¹ için bölen sayısı = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24.

Not: Negatif bölenler de dahil edilmek istenirse sonuç 2 ile çarpılır. ALES'te aksi belirtilmedikçe "pozitif bölen sayısı" istenir.

4. Bölenlerin Toplamı

N = a^p × b^q × c^r ise, tüm pozitif bölenlerinin toplamı:

Bölenler Toplamı = (a^0 + a^1 + ... + a^p) × (b^0 + ... + b^q) × (c^0 + ... + c^r)

Her parantez bir geometrik toplamdır ve kapalı formülle de yazılabilir:

Bölenler Toplamı = [(a^(p+1) - 1)/(a-1)] × [(b^(q+1) - 1)/(b-1)] × ...

5. OBEB (En Büyük Ortak Bölen)

İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. İngilizcesi GCD/EBOB olarak da geçer.

Yöntem (Asal çarpanlara ayırma): Sayıların ortak asal çarpanlarını, en küçük (en az) kuvvetleriyle alıp çarparız.

A = 2³ × 3² × 5
B = 2² × 3³ × 7

OBEB = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

(Ortak çarpanlar 2 ve 3; en küçük kuvvetler 2² ve 3². 5 ve 7 ortak olmadığı için alınmaz.)

6. OKEK (En Küçük Ortak Kat)

İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. İngilizcesi LCM/EKOK olarak da geçer.

Yöntem (Asal çarpanlara ayırma): Sayılarda görülen tüm asal çarpanları, en büyük (en çok) kuvvetleriyle alıp çarparız.

A = 2³ × 3² × 5
B = 2² × 3³ × 7

OKEK = 2³ × 3³ × 5 × 7 = 8 × 27 × 5 × 7 = 7560

7. Pratik Yöntem: Birlikte Bölme

OBEB ve OKEK'i birlikte bulmanın hızlı yolu, sayıları yan yana yazıp ortak asallara bölmektir:

24 , 36 | 2
12 , 18 | 2
 6 ,  9 | 3
 2 ,  3 |  → artık ortak böleni yok

• OBEB = bölen olarak kullanılan ortak asallar = 2 × 2 × 3 = 12
• OKEK = tüm bölenler × kalanlar = (2 × 2 × 3) × 2 × 3 = 12 × 6 = 72

Önemli Formüller ve Kurallar

Temel ilişki (en çok sorulan):

OBEB(a, b) × OKEK(a, b) = a × b

Bu ilişki yalnızca iki sayı için geçerlidir. Üç veya daha fazla sayıda doğrudan kullanılamaz.

Diğer kurallar:

• OBEB, her zaman sayıların kendisine eşit veya daha küçüktür; sayıları böler.
• OKEK, her zaman sayıların kendisine eşit veya daha büyüktür; sayılara bölünür.
• İki sayı aralarında asal ise (ortak böleni yalnızca 1) OBEB = 1 ve OKEK = a × b olur.
• Bir sayı diğerinin tam katı ise: OBEB = küçük sayı, OKEK = büyük sayı. Örneğin OBEB(6, 12) = 6, OKEK(6, 12) = 12.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Asal Çarpanlara Ayırma

540 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

540 | 2
270 | 2
135 | 3
 45 | 3
 15 | 3
  5 | 5
  1

Sonuç: 540 = 2² × 3³ × 5

Örnek 2: Pozitif Bölen Sayısı

72 sayısının kaç tane pozitif tam böleni vardır?

Çözüm: Önce asal çarpanlara ayıralım:

72 = 2³ × 3²

Bölen sayısı formülü: (3+1)(2+1) = 4 × 3 = 12.

Sonuç: 72'nin 12 pozitif böleni vardır. (Kontrol: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 → 12 tane.)

Örnek 3: Bölenlerin Toplamı

12 sayısının tüm pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?

Çözüm:

12 = 2² × 3

Bölenler toplamı = (2^0 + 2^1 + 2^2) × (3^0 + 3^1) = (1 + 2 + 4) × (1 + 3) = 7 × 4 = 28.

Sonuç: Bölenlerin toplamı 28'dir. (Kontrol: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.)

Örnek 4: OBEB ve OKEK Bulma

48 ve 60 sayılarının OBEB ve OKEK değerlerini bulunuz.

Çözüm:

48 = 2⁴ × 3
60 = 2² × 3 × 5

OBEB: Ortak asallar 2 ve 3; en küçük kuvvetler 2² ve 3¹. OBEB = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

OKEK: Tüm asallar 2, 3, 5; en büyük kuvvetler 2⁴, 3¹, 5¹. OKEK = 2⁴ × 3 × 5 = 16 × 3 × 5 = 240

Kontrol (OBEB × OKEK = a × b): 12 × 240 = 2880 ve 48 × 60 = 2880. ✓

Örnek 5: OBEB × OKEK İlişkisi

İki sayının OBEB'i 8, OKEK'i 240'tır. Sayılardan biri 48 ise diğeri kaçtır?

Çözüm: OBEB × OKEK = a × b ilişkisini kullanırız:

8 × 240 = 48 × b
1920 = 48 × b
b = 1920 / 48 = 40

Sonuç: Diğer sayı 40'tır.

Örnek 6: Günlük Hayat Problemi (OBEB)

Boyutları 120 cm ve 90 cm olan dikdörtgen bir zemin, aralarında boşluk kalmadan ve hiç kesilmeden eş kare fayanslarla döşenecektir. Bunun için kullanılabilecek en büyük kare fayansın bir kenarı kaç cm olmalıdır ve toplam kaç fayans gerekir?

Çözüm: "En büyük kare" ve "tam bölme" istendiği için OBEB kullanılır.

120 = 2³ × 3 × 5
 90 = 2 × 3² × 5
OBEB = 2 × 3 × 5 = 30

En büyük fayans kenarı = 30 cm.

Fayans sayısı = (120/30) × (90/30) = 4 × 3 = 12 fayans.

Sonuç: Kenarı 30 cm olan toplam 12 kare fayans gerekir.

Örnek 7: Günlük Hayat Problemi (OKEK)

Bir otobüs duraktan 12 dakikada, ikinci otobüs 18 dakikada, üçüncü otobüs 30 dakikada bir kalkmaktadır. Üç otobüs aynı anda kalktıktan sonra, en az kaç dakika sonra yeniden aynı anda kalkarlar?

Çözüm: "Aynı anda tekrar" ve "en az" istendiği için OKEK kullanılır.

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
OKEK = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180

Sonuç: 180 dakika (3 saat) sonra üç otobüs yeniden aynı anda kalkar.

Örnek 8: Günlük Hayat Problemi (OKEK + Kalan)

Bir sayı 4, 6 ve 9 ile bölündüğünde her seferinde 3 kalanını veriyor. Bu koşulu sağlayan en küçük üç basamaklı sayı kaçtır?

Çözüm: Sayı, (kat + 3) biçiminde olmalı. Önce 4, 6, 9'un OKEK'ini bulalım:

4 = 2²
6 = 2 × 3
9 = 3²
OKEK = 2² × 3² = 36

Sayı = 36k + 3 biçimindedir: 3, 39, 75, 111, ... Üç basamaklı en küçük değer için 36k + 3 ≥ 100 olmalı:

36k ≥ 97  →  k ≥ 2,69...  →  k = 3
Sayı = 36 × 3 + 3 = 111

Sonuç: En küçük üç basamaklı sayı 111'dir.

Örnek 9: Karışık Problem (OBEB)

224 kalem ve 280 silgi, hiç artmayacak şekilde eşit sayıda paketlere bölünecektir. En fazla kaç paket yapılabilir ve her pakette kaç kalem, kaç silgi olur?

Çözüm: "En fazla paket" ve "tam bölme" → OBEB.

224 = 2⁵ × 7
280 = 2³ × 5 × 7
OBEB = 2³ × 7 = 8 × 7 = 56

En fazla 56 paket yapılabilir.

Her pakette: 224/56 = 4 kalem, 280/56 = 5 silgi.

Sonuç: 56 paket; her pakette 4 kalem ve 5 silgi.