Üçgende Benzerlik — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Benzerlik Nedir?

Karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir ve ABC ~ DEF şeklinde gösterilir. Benzer üçgenler aynı biçimdedir; yalnızca büyüklükleri farklı olabilir.

ABC ~ DEF ise:

|AB| / |DE| = |BC| / |EF| = |AC| / |DF| = k

Bu ortak orana benzerlik oranı (k) denir. k = 1 ise üçgenler eştir.

Yazılış sırası önemlidir: ABC ~ DEF yazıldığında A ile D, B ile E, C ile F karşılıklı köşelerdir. Karşılıklı kenarlar da bu sıraya göre eşlenir: [AB] ile [DE], [BC] ile [EF], [AC] ile [DF]. Karşılıklı kenarları bulmanın en güvenli yolu şudur: eşit açıların karşısındaki kenarlar karşılıklıdır.

Benzerlik Kuralları

İki üçgenin benzer olduğunu göstermek için bütün açıları ve kenarları karşılaştırmak gerekmez; aşağıdaki kurallardan biri yeterlidir.

• AA (Açı-Açı): İki açısı karşılıklı eşit olan üçgenler benzerdir. (Üçüncü açılar da eşit olur, çünkü iç açılar toplamı 180°'dir.) En sık kullanılan kuraldır.
• KAK (Kenar-Açı-Kenar): İki kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşit olan üçgenler benzerdir.
• KKK (Kenar-Kenar-Kenar): Üç kenarı karşılıklı orantılı olan üçgenler benzerdir.

Sorularda eşit açılar genellikle şu yollarla ortaya çıkar:

• İki üçgenin ortak bir açısı vardır (örneğin ikisinin de A köşesi aynıdır).
• Paralel doğrular yöndeş veya iç ters açılar oluşturur.
• Ters açılar (kesişen iki doğrunun oluşturduğu karşılıklı açılar) eşittir.
• İki dik üçgende dik açılar eşittir; bir dar açı da eşitse üçgenler benzerdir.

Dikkat: Ortak açılı iki üçgende eşit açı her zaman "aynı yerde" durmaz. ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC] ve m(AED) = m(ABC) ise ADE ~ ACB'dir; yani D köşesi C'ye, E köşesi B'ye karşılık gelir. Bu durumda [DE], [BC]'ye paralel değildir ve |AD| / |AB| = |AE| / |AC| yazılamaz; doğru orantı |AD| / |AC| = |AE| / |AB| = |DE| / |CB|'dir.

Temel Orantı Teoremi ([DE] ∥ [BC])

ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC] ve [DE] ∥ [BC] ise ADE ~ ABC'dir (A açısı ortak, yöndeş açılar eşit). Buradan:

|AD| / |AB| = |AE| / |AC| = |DE| / |BC|

Kenarlar üzerindeki parçalar için de şu orantı geçerlidir:

|AD| / |DB| = |AE| / |EC|

Önemli: |DE| / |BC| oranı |AD| / |DB|'ye değil, |AD| / |AB|'ye eşittir. Paralel parçanın uzunluğu her zaman tüm kenara göre kurulan oranla bulunur.

Tales Teoremi (Paralel Doğrular)

Paralel doğrular, kendilerini kesen iki doğru üzerinde orantılı parçalar ayırır. d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ doğruları bir doğruyu A, B, C; diğerini D, E, F noktalarında kesiyorsa:

|AB| / |BC| = |DE| / |EF|

Parçalar orantılıdır, eşit değildir. Kesen doğrular farklı eğimde olduğundan |AB| = |DE| olması gerekmez; ayrıca parçaların farkları da eşit olmak zorunda değildir.

Kelebek Benzerliği

[AB] ∥ [CD] ve [AD] ile [BC] doğru parçaları E noktasında kesişiyorsa EAB ve EDC üçgenleri benzerdir (iç ters açılar ve ters açılar eşittir):

|AE| / |ED| = |BE| / |EC| = |AB| / |DC|

Bu şekil en çok yamukta karşımıza çıkar. ABCD yamuğunda [AB] ∥ [DC] ve köşegenler E noktasında kesişiyorsa:

• |AE| / |EC| = |BE| / |ED| = |AB| / |DC|
• Tabanlara komşu iki üçgenin alanları oranı k²'dir: A(AEB) / A(DEC) = (|AB| / |DC|)².
• Yan kenarlara komşu iki üçgenin alanları eşittir: A(AED) = A(BEC) = √(A(AEB) · A(DEC)).
• Köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel çizilen ve yan kenarlar arasında kalan doğru parçasının uzunluğu 2 · |AB| · |DC| / (|AB| + |DC|)'dir.

Paralelkenarda da aynı fikir kullanılır: bir köşeden karşı kenara çizilen doğru parçası ile köşegen bir kelebek oluşturur.

Dik Üçgende Benzerlik (Öklid Bağıntıları)

ABC dik üçgeninde m(BAC) = 90° ve [AH] ⊥ [BC] olsun. |BH| = p, |HC| = q, |BC| = a = p + q ve |AH| = h ile gösterilsin. Yükseklik, dik üçgeni birbirine ve büyük üçgene benzer iki dik üçgene ayırır: ABH ~ CAH ~ CBA. Bu benzerliklerden şu bağıntılar çıkar:

• Yükseklik bağıntısı: h² = p · q
• Dik kenar bağıntıları: |AB|² = p · a ve |AC|² = q · a (dik kenarın karesi = komşu parça × hipotenüs)
• Alan eşitliği: |AB| · |AC| = a · h

Her dik kenar, hipotenüs üzerinde kendisine komşu olan parça ile eşleşir. [AB] kenarı B köşesinden çıktığı için p = |BH| ile, [AC] kenarı ise q = |HC| ile kullanılır.

Benzerlik Oranı, Çevre ve Alan

İki üçgenin benzerlik oranı k ise:

• Karşılıklı kenarların, yüksekliklerin, kenarortayların ve açıortayların oranı k'dir.
• Çevrelerin oranı k'dir.
• Alanların oranı k²'dir.

Örneğin benzerlik oranı 1/3 olan iki üçgende çevreler oranı 1/3, alanlar oranı 1/9'dur. Tersine, alanlar oranı verilirse benzerlik oranı bu oranın karekökü alınarak bulunur.

Önemli Formüller ve Kurallar

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Paralel Doğru Parçası

ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC] ve [DE] ∥ [BC]'dir. |AD| = 6 birim, |DB| = 3 birim ve |BC| = 12 birim olduğuna göre |DE| kaç birimdir?

Çözüm: [DE] ∥ [BC] olduğundan ADE ~ ABC'dir. Benzerlik oranı tüm kenara göre kurulur: |AD| / |AB| = 6 / 9 = 2/3.

|DE| = 12 · 2/3 = 8.

Sonuç: 8 birim

Örnek 2: Kenar Üzerindeki Parçalar

ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC] ve [DE] ∥ [BC]; |AD| = 4 birim, |DB| = 6 birim ve |AE| = 6 birimdir. |EC| kaç birimdir?

Çözüm: Temel orantı teoremine göre |AD| / |DB| = |AE| / |EC|. 4 / 6 = 6 / |EC| → |EC| = 36 / 4 = 9.

Sonuç: 9 birim

Örnek 3: Ortak Açılı Üçgenler

ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC] ve m(AED) = m(ABC)'dir. |AD| = 4 birim, |AE| = 3 birim ve |EC| = 5 birim olduğuna göre |DB| kaç birimdir?

Çözüm: A açısı ortak ve m(AED) = m(ABC) olduğundan AA kuralına göre ADE ~ ACB'dir (E ile B, D ile C karşılıklıdır).

|AC| = 3 + 5 = 8 birim. Orantı: |AD| / |AC| = |AE| / |AB| → 4 / 8 = 3 / |AB| → |AB| = 6. |DB| = 6 − 4 = 2.

(Burada [DE], [BC]'ye paralel değildir; |AD| / |DB| = |AE| / |EC| yazmak yanlış sonuç verir.)

Sonuç: 2 birim

Örnek 4: Tales Teoremi

d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ doğruları bir doğruyu sırasıyla A, B, C; başka bir doğruyu sırasıyla D, E, F noktalarında kesmektedir. |AB| = 4 birim, |BC| = 6 birim ve |DE| = 6 birim olduğuna göre |EF| kaç birimdir?

Çözüm: Paralel doğrular orantılı parçalar ayırır: |AB| / |BC| = |DE| / |EF|. 4 / 6 = 6 / |EF| → |EF| = 36 / 4 = 9.

Sonuç: 9 birim

Örnek 5: Yamukta Köşegenler

ABCD yamuğunda [AB] ∥ [DC], |AB| = 10 birim ve |DC| = 4 birimdir. Köşegenler E noktasında kesişmektedir ve |BD| = 21 birimdir. |BE| ve |ED| kaçar birimdir?

Çözüm: Kelebek benzerliğinden EAB ~ ECD ve |BE| / |ED| = |AB| / |DC| = 10 / 4 = 5/2.

|BD| = 21 birim 5 + 2 = 7 eşit parçaya bölünür; bir parça 3 birimdir. |BE| = 5 · 3 = 15 ve |ED| = 2 · 3 = 6.

Sonuç: |BE| = 15 birim, |ED| = 6 birim

Örnek 6: Yamukta Alanlar

ABCD yamuğunda [AB] ∥ [DC] ve köşegenler E noktasında kesişmektedir. A(DEC) = 9 birimkare ve A(AEB) = 16 birimkaredir. Yamuğun alanı kaç birimkaredir?

Çözüm: DEC ~ BEA ve alanlar oranı 9/16 olduğundan benzerlik oranı |DE| / |EB| = 3/4'tür. AED ve AEB üçgenlerinin A köşesinden [BD]'ye inen yüksekliği ortaktır; alanları tabanlarıyla orantılıdır: A(AED) = 16 · 3/4 = 12. Aynı yolla A(BEC) = 12 (kısaca √(9 · 16) = 12). Yamuğun alanı = 9 + 16 + 12 + 12 = 49.

Sonuç: 49 birimkare

Örnek 7: Öklid Bağıntıları

ABC dik üçgeninde m(BAC) = 90° ve [AH] ⊥ [BC]'dir. |BH| = 2 birim ve |HC| = 8 birimdir. |AH| ve |AB| kaçar birimdir?

Çözüm: Yükseklik bağıntısı: |AH|² = |BH| · |HC| = 2 · 8 = 16 → |AH| = 4. Dik kenar bağıntısı: |AB|² = |BH| · |BC| = 2 · 10 = 20 → |AB| = 2√5. Kontrol: |AC|² = 8 · 10 = 80 → |AC| = 4√5 ve |AB| · |AC| = 2√5 · 4√5 = 40 = |BC| · |AH| = 10 · 4.

Sonuç: |AH| = 4 birim, |AB| = 2√5 birim

Örnek 8: Çevre ve Alan Oranı

ABC ~ DEF'tir; |AB| = 6 birim ve |DE| = 10 birimdir. ABC üçgeninin çevresi 24 birim, alanı 18 birimkaredir. DEF üçgeninin çevresi ve alanı kaçtır?

Çözüm: Benzerlik oranı |DE| / |AB| = 10 / 6 = 5/3'tür. Çevre oranı k'dir: Ç(DEF) = 24 · 5/3 = 40. Alan oranı k²'dir: A(DEF) = 18 · 25/9 = 50.

Sonuç: Çevre 40 birim, alan 50 birimkare