Açıortay ve Kenarortay — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

İç Açıortay ve İç Açıortay Teoremi

Bir açıyı iki eş açıya bölen ışına açıortay denir. ABC üçgeninde A açısının açıortayı [BC] kenarını D noktasında kessin; m(BAD) = m(DAC)'dir.

Açıortayın temel özelliği: Açıortay üzerindeki her nokta, açının iki koluna eşit uzaklıktadır. D noktasından [AB] ve [AC]'ye inilen dikmelerin uzunlukları eşittir.

İç açıortay teoremi: Açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler:

|BD| / |DC| = |AB| / |AC|

Bu oran, ABD ve ADC üçgenlerinin alanlarının oranına da eşittir: iki üçgenin A köşesinden [BC]'ye inen yüksekliği ortaktır ve D'nin kenarlara uzaklıkları eşittir.

A(ABD) / A(ADC) = |BD| / |DC| = |AB| / |AC|

Uygulama: |AB| = 10, |AC| = 6 ve |BC| = 12 ise |BD| / |DC| = 5/3'tür; [BC] 5 + 3 = 8 eşit parçaya bölünür, bir parça 1,5 birimdir ve |BD| = 7,5, |DC| = 4,5 olur.

Dış Açıortay Teoremi

A köşesindeki dış açının açıortayı, [BC]'nin uzantısını E noktasında kessin (|AB| ≠ |AC| olmalıdır; eşitse dış açıortay [BC]'ye paralel olur). E noktası [BC]'nin kısa kenar tarafındaki uzantısı üzerindedir: |AB| > |AC| ise E, C'nin ötesindedir.

|EB| / |EC| = |AB| / |AC|

Bu kez parçalar dışarıdan ölçülür: |EB| = |EC| + |BC| (|AB| > |AC| iken). Ayrıca aynı köşedeki iç ve dış açıortaylar birbirine diktir.

Açıortay Uzunluğu

A açısının iç açıortayı [AD], |BD| = m ve |DC| = n olsun:

|AD|² = |AB| · |AC| − m · n

Dış açıortay [AE] için de benzer bir bağıntı vardır:

|AE|² = |EB| · |EC| − |AB| · |AC|

Önce açıortay teoremiyle m ve n bulunur, sonra formül uygulanır.

Açıortayların Kesim Noktası: İç Teğet Çemberin Merkezi

Bir üçgenin üç iç açıortayı tek bir noktada kesişir. Bu nokta (I) üç kenara eşit uzaklıktadır; bu yüzden I, üç kenara da teğet olan iç teğet çemberin merkezidir. I'nın kenarlara uzaklığı iç teğet çemberin yarıçapıdır (r).

• Alan bağıntısı: A(ABC) = r · u (u: yarı çevre, u = (a + b + c) / 2)
• Dik üçgende: r = (dik kenar 1 + dik kenar 2 − hipotenüs) / 2

Açıortaylar arasındaki açılar: m(BAC) = α olsun.

• B ve C'nin iç açıortayları I'da kesişirse: m(BIC) = 90° + α/2
• B'nin iç, C'nin dış açıortayı E'de kesişirse: m(BEC) = α/2
• B ve C'nin dış açıortayları K'de kesişirse: m(BKC) = 90° − α/2

Bu kuralları ezberlemek yerine nasıl çıktığını bilmek daha güvenlidir. İç açıortaylar için m(B) + m(C) = 180° − α; yarıları toplamı 90° − α/2; BIC üçgeninde kalan açı 180° − (90° − α/2) = 90° + α/2 olur.

Açıortay ve paralel: I noktasından [BC]'ye paralel çizilen doğru [AB]'yi D'de, [AC]'yi E'de kessin. İç ters açılar nedeniyle m(DIB) = m(IBC) = m(DBI) olur; DBI üçgeni ikizkenardır ve |DI| = |DB|. Aynı şekilde |IE| = |EC|. Bu yüzden ADE üçgeninin çevresi |AB| + |AC|'ye eşittir.

Kenarortay ve Kenarortay Uzunluğu

Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. A köşesinden çizilen kenarortay [AD] olsun (|BD| = |DC|).

Kenarortay, üçgeni alanları eşit iki üçgene ayırır: A(ABD) = A(ADC), çünkü iki üçgenin tabanları eşit, A köşesinden inen yükseklikleri ortaktır.

Kenarortay bağıntısı (Apollonius):

|AB|² + |AC|² = 2 · |AD|² + |BC|² / 2

Kenarlar a = |BC|, b = |AC|, c = |AB| ile gösterilirse aynı bağıntı şöyle de yazılır:

|AD|² = (2b² + 2c² − a²) / 4

Ağırlık Merkezi

Üç kenarortay tek bir noktada kesişir; bu noktaya ağırlık merkezi (G) denir.

• G, her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler: |AG| = (2/3) · |AD| ve |GD| = (1/3) · |AD|.
• Üç kenarortay üçgeni alanları eşit altı küçük üçgene ayırır; her biri A(ABC) / 6'dır.
• Buna göre A(AGB) = A(BGC) = A(AGC) = A(ABC) / 3'tür.
• G'den [BC]'ye paralel çizilen doğru parçası, A köşesinde ABC'ye 2/3 oranında benzer bir üçgen ayırır (çünkü |AG| / |AD| = 2/3); bu üçgenin alanı A(ABC)'nin 4/9'udur.

Dik Üçgende Hipotenüse Ait Kenarortay

Dik üçgende dik açının köşesinden hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. m(BAC) = 90° ve D, [BC]'nin orta noktası ise:

|AD| = |BD| = |DC| = |BC| / 2

Bu yüzden ABD ve ADC üçgenleri ikizkenardır: m(DAB) = m(DBA) ve m(DAC) = m(DCA). Açı sorularında bu ikizkenarlık çoğu zaman çözümün anahtarıdır. Hipotenüsün orta noktası, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.

Önemli Formüller ve Kurallar

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: İç Açıortay Teoremi

ABC üçgeninde [AD], A açısının açıortayıdır (D ∈ [BC]). |AB| = 6 birim, |AC| = 9 birim ve |BC| = 10 birim olduğuna göre |BD| ve |DC| kaçar birimdir?

Çözüm:

|BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 6 / 9 = 2/3. |BC| = 10 birim 2 + 3 = 5 eşit parçaya bölünür; bir parça 2 birimdir. |BD| = 2 · 2 = 4 ve |DC| = 3 · 2 = 6.

Sonuç: |BD| = 4 birim, |DC| = 6 birim

Örnek 2: Dış Açıortay Teoremi

ABC üçgeninde |AB| = 8 birim, |AC| = 6 birim ve |BC| = 3 birimdir. A köşesindeki dış açının açıortayı [BC]'nin uzantısını C tarafında E noktasında kesmektedir. |CE| kaç birimdir?

Çözüm:

|CE| = x olsun; |EB| = x + 3 olur.

Dış açıortay teoremi: |EB| / |EC| = |AB| / |AC| → (x + 3) / x = 8 / 6 = 4/3. 3x + 9 = 4x → x = 9.

Sonuç: 9 birim

Örnek 3: Açıortay Uzunluğu

ABC üçgeninde [AD], A açısının açıortayıdır. |AB| = 8 birim, |AC| = 6 birim ve |BC| = 7 birim olduğuna göre |AD| kaç birimdir?

Çözüm: Önce parçalar: |BD| / |DC| = 8 / 6 = 4/3 ve |BC| = 7 olduğundan |BD| = 4, |DC| = 3.

|AD|² = |AB| · |AC| − |BD| · |DC| = 48 − 12 = 36 → |AD| = 6.

Sonuç: 6 birim

Örnek 4: Açıortayların Oluşturduğu Açılar

ABC üçgeninde m(BAC) = 50°'dir. B ve C açılarının iç açıortayları I noktasında kesişmektedir. m(BIC) kaç derecedir? B'nin iç, C'nin dış açıortayı E'de kesişseydi m(BEC) kaç derece olurdu?

Çözüm: m(B) + m(C) = 180° − 50° = 130°; yarıları toplamı 65°'dir. BIC üçgeninde m(BIC) = 180° − 65° = 115° (kısaca 90° + 50°/2). İç ve dış açıortayın kesiştiği durumda m(BEC) = 50° / 2 = 25°'dir.

Sonuç: m(BIC) = 115°, m(BEC) = 25°

Örnek 5: İç Teğet Çemberin Yarıçapı

Dik kenarları 8 birim ve 15 birim olan dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Çözüm: Hipotenüs √(8² + 15²) = 17 birimdir (8-15-17 üçlüsü). Alan = (8 · 15) / 2 = 60, yarı çevre u = (8 + 15 + 17) / 2 = 20. A = r · u → 60 = r · 20 → r = 3. Kontrol: r = (8 + 15 − 17) / 2 = 3.

Sonuç: 3 birim

Örnek 6: Kenarortay Uzunluğu

ABC üçgeninde [AD] kenarortaydır. |AB| = 7 birim, |AC| = 11 birim ve |BC| = 12 birim olduğuna göre |AD| kaç birimdir?

Çözüm:

|AB|² + |AC|² = 2|AD|² + |BC|² / 2 → 49 + 121 = 2|AD|² + 144 / 2.

170 = 2|AD|² + 72 → |AD|² = 49 → |AD| = 7.

Sonuç: 7 birim

Örnek 7: Ağırlık Merkezi ve Alanlar

ABC üçgeninde [AD] kenarortay, G ağırlık merkezidir. |AD| = 15 birim ve A(ABC) = 42 birimkaredir. |AG|, |GD|, A(AGB) ve A(GBD) kaçtır?

Çözüm: G, kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 böler: |AG| = (2/3) · 15 = 10 ve |GD| = 5. Kenarortaylar üçgeni 6 eşit alana böler: A(GBD) = 42 / 6 = 7. A(AGB) iki küçük üçgenden oluşur: 2 · 7 = 14 (yani A(ABC) / 3).

Sonuç: |AG| = 10 birim, |GD| = 5 birim, A(AGB) = 14 birimkare, A(GBD) = 7 birimkare

Örnek 8: Dik Üçgende Hipotenüse Ait Kenarortay

ABC dik üçgeninde m(BAC) = 90°, |AB| = 9 birim ve |AC| = 12 birimdir. [AD] kenarortay ve G ağırlık merkezidir. |AD| ve |AG| kaçar birimdir?

Çözüm:

|BC| = √(9² + 12²) = 15 (9-12-15, yani 3-4-5'in 3 katı).

Hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır: |AD| = 15 / 2 = 7,5.

|AG| = (2/3) · 7,5 = 5.

Sonuç: |AD| = 7,5 birim, |AG| = 5 birim