ALES Hocam

Üçgende Alan Soruları — ALES Çözümlü Örnek Sorular

ALES Sayısal · Geometri · 15 örnek soru. Önce kendin çöz, sonra “Cevap ve çözüm” bölümünü açıp doğru cevabı ve çözüm yolunu kontrol et.

Soru 1

Şekilde ABC bir üçgen, H noktası [CB]'nin B tarafındaki uzantısı üzerinde, [AH] ⊥ [HC], |AB| = 5 birim, |HB| = 3 birim ve |BC| = 9 birimdir.

Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Soru 1 görseli
  1. 18
  2. 22,5
  3. 24
  4. 30
  5. 36
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: A) 18

AHB dik üçgeninde |AH| = √(5² − 3²) = 4 birimdir. [AH], A köşesinden [BC] kenarının uzantısına inen yüksekliktir; geniş açılı üçgende yükseklik üçgenin dışında kalabilir. A(ABC) = (|BC| · |AH|) / 2 = (9 · 4) / 2 = 18 birimkaredir.

Soru 2

Şekilde ABC bir üçgen, |AB| = 4 birim, |AC| = 6 birim ve m(BAC) = 120°'dir.

Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Soru 2 görseli
  1. 3√3
  2. 6
  3. 6√3
  4. 12
  5. 12√3
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: C) 6√3

İki kenarı ve aradaki açısı bilinen üçgende A(ABC) = (1/2) · |AB| · |AC| · sin A'dır. sin 120° = sin 60° = √3/2 olduğundan A(ABC) = (1/2) · 4 · 6 · (√3/2) = 6√3 birimkaredir.

Soru 3

Şekilde ABC bir üçgen, [AH] ⊥ [BC], |AH| = 6 birim, m(ABC) = 45° ve m(ACB) = 30°'dir.

Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Soru 3 görseli
  1. 18
  2. 18 + 6√3
  3. 18√3
  4. 36
  5. 18 + 18√3
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: E) 18 + 18√3

ABH ikizkenar dik üçgendir (45°-45°-90°): |BH| = |AH| = 6 birim. AHC bir 30°-60°-90° üçgenidir; 30°'nin karşısındaki |AH| = 6 olduğundan |HC| = 6√3 birimdir. |BC| = 6 + 6√3 ve A(ABC) = ((6 + 6√3) · 6) / 2 = 18 + 18√3 birimkaredir.

Soru 4

Şekilde ABC bir eşkenar üçgen, [AH] ⊥ [BC] ve |AH| = 6 birimdir.

Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Soru 4 görseli
  1. 6√3
  2. 9√3
  3. 18
  4. 12√3
  5. 24√3
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: D) 12√3

Eşkenar üçgende yükseklik h = (a√3) / 2'dir: 6 = (a√3) / 2 ve a = 12/√3 = 4√3 birimdir. A(ABC) = (a · h) / 2 = (4√3 · 6) / 2 = 12√3 birimkaredir. (Aynı sonuç a²√3/4 = 48√3/4 ile de bulunur.)

Soru 5

Şekilde ABC bir eşkenar üçgen ve |BC| = 6 birimdir. Üçgenin içindeki P noktası için [PD] ⊥ [BC], [PE] ⊥ [AC], [PF] ⊥ [AB], |PD| = 2 birim ve |PE| = 1 birimdir.

Buna göre |PF| = x kaç birimdir?

Soru 5 görseli
  1. √3
  2. 3√3 − 3
  3. 3
  4. 3√3 − 1
  5. 6√3 − 3
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: B) 3√3 − 3

P köşelere birleştirilirse ABC üçgeni PBC, PCA ve PAB üçgenlerine ayrılır; üçünün de tabanı 6 birimdir. A(ABC) = (6² · √3) / 4 = 9√3 olduğundan (6 · 2)/2 + (6 · 1)/2 + (6 · x)/2 = 9√3, yani 3 · (3 + x) = 9√3 ve x = 3√3 − 3 birimdir. (Uzaklıkların toplamı, yüksekliğe (3√3) eşittir.)

Soru 6

Şekilde ABC bir üçgen, [AD] kenarortay, |AB| = 8 birim, |AC| = 6 birim ve m(BAC) = 150°'dir.

Buna göre taralı ABD üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Soru 6 görseli
  1. 6
  2. 6√3
  3. 12
  4. 12√3
  5. 24
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: A) 6

A(ABC) = (1/2) · 8 · 6 · sin 150°'dir. sin 150° = sin 30° = 1/2 olduğundan A(ABC) = 12 birimkaredir. Kenarortay, üçgeni tabanları eşit ve yükseklikleri ortak iki üçgene ayırır: A(ABD) = A(ADC) = 12 / 2 = 6 birimkaredir.

Soru 7

Şekilde ABC bir üçgen, D noktası [BC] üzerinde, E noktası [AD]'nin orta noktası, |BD| = 4 birim, |DC| = 6 birim ve ABC üçgeninin alanı 60 birimkaredir.

Buna göre taralı EDC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Soru 7 görseli
  1. 12
  2. 18
  3. 24
  4. 36
  5. 42
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: B) 18

ABD ile ADC'nin A'dan [BC]'ye inen yüksekliği ortaktır; alanları tabanlarla orantılıdır: A(ADC) = 60 · 6/10 = 36 birimkaredir. ADC üçgeninde [CE] kenarortaydır (E, [AD]'nin orta noktası); A(EDC) = 36 / 2 = 18 birimkaredir.

Soru 8

Şekilde ABC bir üçgen, D noktası [BC], E noktası [AC] üzerinde; |BD| = 4 birim, |DC| = 8 birim, |AE| = 3 birim, |EC| = 6 birim ve ABC üçgeninin alanı 54 birimkaredir.

Buna göre taralı ADE üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Soru 8 görseli
  1. 6
  2. 9
  3. 12
  4. 18
  5. 24
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: C) 12

ABD ile ADC'nin yüksekliği ortaktır: A(ADC) = 54 · 8/12 = 36 birimkaredir. ADE ile DEC'nin D'den [AC]'ye inen yüksekliği ortaktır; alanları |AE| : |EC| = 3 : 6 oranındadır: A(ADE) = 36 · 3/9 = 12 birimkaredir.

Soru 9

Şekilde ABC bir üçgen, [BK] ⊥ [AC], [CH] ⊥ [AB], |AB| = 26 birim, |AC| = 39 birim ve |BK| = 24 birimdir.

Buna göre |CH| = x kaç birimdir?

Soru 9 görseli
  1. 16
  2. 18
  3. 24
  4. 36
  5. 54
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: D) 36

Alan iki farklı taban-yükseklik çiftiyle yazılabilir: A(ABC) = (|AC| · |BK|) / 2 = (39 · 24) / 2 = 468 birimkaredir. Aynı alan (|AB| · |CH|) / 2 = (26 · x) / 2 = 13x'tir; 13x = 468 ve x = 36 birimdir. (Kısaca: |AB| · |CH| = |AC| · |BK|.)

Soru 10

Şekilde [BD] ile [CE] doğru parçaları A noktasında kesişmektedir. |AB| = 6 birim, |AC| = 10 birim, |AD| = 4 birim, |AE| = 5 birim ve ABC üçgeninin alanı 24 birimkaredir.

Buna göre taralı ADE üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Soru 10 görseli
  1. 4
  2. 8
  3. 12
  4. 16
  5. 72
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: B) 8

m(BAC) ile m(DAE) ters açılardır, dolayısıyla eşittir. Bir açısı ortak (eşit) olan üçgenlerde alanlar oranı, o açıyı oluşturan kenarların çarpımları oranıdır: A(ADE) / A(ABC) = (4 · 5) / (6 · 10) = 1/3. A(ADE) = 24 / 3 = 8 birimkaredir.

Soru 11

Şekilde ABC bir üçgen, [AD] ve [BE] kenarortaylar, G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezi ve ABC üçgeninin alanı 48 birimkaredir.

Buna göre taralı ABG üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Soru 11 görseli
  1. 8
  2. 32/3
  3. 12
  4. 16
  5. 24
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: D) 16

[AD] kenarortay olduğundan A(ABD) = 48 / 2 = 24 birimkaredir. G, [AD]'yi A'dan itibaren 2 : 1 oranında böler; ABG ile GBD'nin B'den [AD]'ye inen yüksekliği ortak olduğundan alanları |AG| : |GD| = 2 : 1 oranındadır: A(ABG) = 24 · 2/3 = 16 birimkaredir. (Ağırlık merkezi köşelerle birleştirildiğinde alanı eşit üç parçaya ayırır: 48 / 3 = 16.)

Soru 12

Şekilde ABC bir üçgen, [AD] kenarortay, [AD] ⊥ [BC], G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezi, |GD| = 2 birim ve |BC| = 12 birimdir.

Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Soru 12 görseli
  1. 6
  2. 12
  3. 18
  4. 24
  5. 36
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: E) 36

Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler: |AG| = 2 · 2 = 4 ve |AD| = 6 birimdir. [AD] ⊥ [BC] olduğundan [AD], [BC]'ye ait yüksekliktir: A(ABC) = (12 · 6) / 2 = 36 birimkaredir.

Soru 13

Şekilde ABC bir dik üçgen, m(ABC) = 90°, |AB| = 6 birim ve |BC| = 8 birimdir. O merkezli çember, ABC üçgeninin iç teğet çemberidir.

Buna göre çemberin yarıçapı x kaç birimdir?

Soru 13 görseli
  1. 2
  2. 2,4
  3. 4
  4. 4,8
  5. 5
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: A) 2

Pisagor bağıntısından |AC| = √(6² + 8²) = 10 birimdir. A(ABC) = (6 · 8) / 2 = 24 ve yarı çevre u = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 birimdir. A = r · u bağıntısından 24 = x · 12 ve x = 2 birimdir.

Soru 14

Şekilde ABC bir üçgen, [AH] ⊥ [BC], ABC üçgeninin çevresi 32 birim, |BC| = 12 birim ve iç teğet çemberinin yarıçapı 3 birimdir.

Buna göre |AH| = x kaç birimdir?

Soru 14 görseli
  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 9
  5. 16
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: C) 8

Yarı çevre u = 32 / 2 = 16 birimdir. A = r · u bağıntısından A(ABC) = 3 · 16 = 48 birimkaredir. Aynı alan (|BC| · |AH|) / 2 = (12 · x) / 2 = 6x'tir; 6x = 48 ve x = 8 birimdir.

Soru 15

Şekilde ABC bir üçgen, [AH] ⊥ [BC], |AB| = 13 birim, |BC| = 14 birim ve |AC| = 15 birimdir.

Buna göre |AH| = x kaç birimdir?

Soru 15 görseli
  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 11,2
  5. 12
Cevap ve çözüm

Doğru cevap: E) 12

Yarı çevre u = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 birimdir. Heron formülüyle A(ABC) = √(21 · (21 − 13) · (21 − 14) · (21 − 15)) = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 birimkaredir. (14 · x) / 2 = 84 olduğundan x = 12 birimdir.

Süreli çöz, netini gör: bu soruları uygulamada interaktif olarak çöz, yanlışlarını kaydet ve ilerlemeni takip et.

Uygulamada Çöz → Üçgende Alan konu anlatımı