Üçgende Alan — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Taban ve Yükseklik

Üçgenin herhangi bir kenarı taban olarak seçilebilir. O tabana ait yükseklik, karşıdaki köşeden tabana (ya da tabanın uzantısına) inilen dikmedir.

Alan = (taban × yükseklik) / 2

ABC üçgeninde a, b, c kenarlarına ait yükseklikler h(a), h(b), h(c) ise:

A(ABC) = (a · h(a)) / 2 = (b · h(b)) / 2 = (c · h(c)) / 2

Buradan a · h(a) = b · h(b) = c · h(c) bulunur: bir üçgende kenarlar ile o kenarlara ait yükseklikler ters orantılıdır. Uzun kenarın yüksekliği kısa, kısa kenarın yüksekliği uzundur.

Geniş açılı üçgen: Geniş açının komşusu olan köşelerden inen yükseklikler üçgenin dışına düşer. Bu durumda dikme, tabanın uzantısına iner; alan yine (taban × yükseklik) / 2'dir. Taban olarak uzantı dâhil edilmez, yalnızca üçgenin kenarı alınır.

Dik üçgen: Dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir: Alan = (dik kenar × dik kenar) / 2. Hipotenüse ait yükseklik ise alan iki yoldan yazılarak bulunur: h = (b · c) / a (a hipotenüs).

2. İki Kenar ve Aradaki Açı

İki kenarı ve bu kenarların arasındaki açısı bilinen üçgende:

m(BAC) = α ise A(ABC) = (1/2) · b · c · sin α

Bu formül, taban-yükseklik formülünden gelir: c kenarı taban alınırsa C köşesinden inen yükseklik b · sin α olur.

Sık kullanılan açıların sinüs değerleri:

sin(180° − α) = sin α olduğundan bütünler açıların sinüsleri eşittir: sin 120° = sin 60°, sin 135° = sin 45°, sin 150° = sin 30°. Geniş açılı üçgende de formül aynen kullanılır.

3. Eşkenar Üçgen

Kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgende:

• Yükseklik: h = (a√3) / 2
• Alan: A = (a²√3) / 4

Yalnızca yükseklik verilmişse önce kenar bulunur: a = 2h / √3. Alan, A = (a · h) / 2 ile de hesaplanabilir.

İçteki bir noktanın kenarlara uzaklıkları: Eşkenar üçgenin içindeki bir P noktasından üç kenara inilen dikmelerin uzunlukları toplamı, üçgenin yüksekliğine eşittir. P köşelere birleştirilip üç üçgenin alanları toplanınca (a · x)/2 + (a · y)/2 + (a · z)/2 = (a · h)/2, yani x + y + z = h bulunur.

4. Ortak Yükseklikli Üçgenler: Alan Oranı = Taban Oranı

Tepe noktası ortak olan ve tabanları aynı doğru üzerinde bulunan üçgenlerin yükseklikleri ortaktır. Bu yüzden alanları tabanlarıyla orantılıdır.

D noktası [BC] üzerinde ise:

A(ABD) / A(ADC) = |BD| / |DC|

Bu kural birden fazla adımda da kullanılabilir: önce büyük üçgen tabana göre bölünür, sonra elde edilen üçgen başka bir kenarındaki noktaya göre yeniden bölünür.

Tabanı ortak, yüksekliği eşit üçgenler: Tabanı aynı ve üçüncü köşeleri tabana paralel bir doğru üzerinde olan üçgenlerin alanları eşittir.

5. Ortak Açılı Üçgenler

Bir açısı ortak (ya da eşit) olan iki üçgenin alanları oranı, o açıyı oluşturan kenarların çarpımları oranına eşittir. D noktası [AB], E noktası [AC] üzerinde ise:

A(ADE) / A(ABC) = (|AD| · |AE|) / (|AB| · |AC|)

Bu sonuç (1/2) · b · c · sin α formülünden gelir: sin α iki alanda da aynı olduğu için sadeleşir. Aynı nedenle kural, ters açılarda ve bütünler açılarda da geçerlidir.

6. Kenarortay ve Ağırlık Merkezi

Kenarortay alanı ikiye böler. [AD] kenarortay ise |BD| = |DC| olduğundan A(ABD) = A(ADC) = A(ABC) / 2'dir.

Ağırlık merkezi (G): Üç kenarortay G noktasında kesişir ve üçgeni alanları eşit altı üçgene ayırır. Her birinin alanı A(ABC) / 6'dır. Buradan:

• A(GAB) = A(GBC) = A(GCA) = A(ABC) / 3
• G, her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler; G'nin bir kenara uzaklığı, karşı köşenin o kenara uzaklığının 1/3'üdür.

7. İç Teğet Çember ve Alan: A = r · u

Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi I, yarıçapı r ve yarı çevresi u = (a + b + c) / 2 olsun. I köşelere birleştirilirse üçgen, yükseklikleri r olan IBC, ICA ve IAB üçgenlerine ayrılır:

A(ABC) = (a · r)/2 + (b · r)/2 + (c · r)/2 = r · u

Bu bağıntı, alan ve çevre bilindiğinde r'yi; r ve çevre bilindiğinde alanı bulmayı sağlar. Dik üçgende (a hipotenüs) kısa yol: r = (b + c − a) / 2.

8. Üç Kenarı Bilinen Üçgen: Heron Formülü

Kenarları a, b, c ve yarı çevresi u olan üçgenin alanı:

A = √(u · (u − a) · (u − b) · (u − c))

Örneğin kenarları 5, 5 ve 6 olan üçgende u = 8 ve A = √(8 · 3 · 3 · 2) = √144 = 12'dir. Alan bulunduktan sonra herhangi bir kenara ait yükseklik h = 2A / taban ile hesaplanır.

Önemli Formüller ve Kurallar

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Yüksekliklerin Ters Orantısı

Bir ABC üçgeninde |BC| = 12 birim, |AC| = 9 birim ve A köşesinden [BC]'ye inen yükseklik 6 birimdir. B köşesinden [AC]'ye inen yükseklik kaç birimdir?

Çözüm: Alan: A(ABC) = (12 · 6) / 2 = 36 birimkare. Aynı alan [AC] tabanıyla yazılırsa: (9 · h) / 2 = 36 → 9h = 72 → h = 8.

Sonuç: B'den [AC]'ye inen yükseklik 8 birimdir.

Örnek 2: İki Kenar ve 135°'lik Açı

Bir ABC üçgeninde |AB| = 6 birim, |AC| = 4√2 birim ve m(BAC) = 135°'dir. ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Çözüm: sin 135° = sin 45° = √2/2. A(ABC) = (1/2) · 6 · 4√2 · (√2/2) = (1/2) · 6 · 4 = 12.

Sonuç: Alan 12 birimkaredir.

Örnek 3: Çevresi Verilen Eşkenar Üçgen

Çevresi 24 birim olan bir eşkenar üçgenin yüksekliği ve alanı kaçtır?

Çözüm: Bir kenar a = 24 / 3 = 8 birimdir. Yükseklik: h = (8√3) / 2 = 4√3 birim. Alan: A = (8² · √3) / 4 = 16√3 birimkare. (Kontrol: (8 · 4√3) / 2 = 16√3.)

Sonuç: Yükseklik 4√3 birim, alan 16√3 birimkaredir.

Örnek 4: Ortak Yükseklik

ABC üçgeninde D noktası [BC] üzerindedir ve |BD| : |DC| = 3 : 5'tir. ABC üçgeninin alanı 64 birimkare olduğuna göre ABD ve ADC üçgenlerinin alanları kaçtır?

Çözüm: ABD ve ADC'nin A'dan [BC]'ye inen yüksekliği ortaktır; alanlar 3 : 5 oranındadır. 64 birimkare 3 + 5 = 8 eşit parçaya ayrılır; bir parça 8 birimkaredir. A(ABD) = 3 · 8 = 24, A(ADC) = 5 · 8 = 40.

Sonuç: A(ABD) = 24 birimkare, A(ADC) = 40 birimkaredir.

Örnek 5: Ortak Açılı Üçgenler

ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerindedir. |AD| = 4, |DB| = 6, |AE| = 6, |EC| = 6 birim ve A(ABC) = 50 birimkaredir. ADE üçgeninin ve DBCE dörtgeninin alanları kaçtır?

Çözüm: A açısı ortaktır: A(ADE) / A(ABC) = (4 · 6) / (10 · 12) = 24 / 120 = 1/5. A(ADE) = 50 / 5 = 10 birimkare. A(DBCE) = 50 − 10 = 40 birimkare.

Sonuç: A(ADE) = 10 birimkare, A(DBCE) = 40 birimkaredir.

Örnek 6: Ağırlık Merkezi ve Eşit Alanlar

ABC üçgeninin alanı 54 birimkare, G ağırlık merkezi ve D noktası [BC]'nin orta noktasıdır. GDC ve AGC üçgenlerinin alanları kaçtır?

Çözüm: Üç kenarortay üçgeni alanları eşit altı parçaya ayırır; her parça 54 / 6 = 9 birimkaredir. GDC bu parçalardan biridir: A(GDC) = 9. AGC iki parçadan oluşur (B'den çizilen kenarortayın G ile [AC]'nin orta noktası arasındaki kısmı onu ikiye ayırır): A(AGC) = 2 · 9 = 18. (Ya da A(AGC) = 54 / 3 = 18.)

Sonuç: A(GDC) = 9 birimkare, A(AGC) = 18 birimkaredir.

Örnek 7: Dik Üçgende İç Teğet Çember

Dik kenarları 5 ve 12 birim olan dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Çözüm: Hipotenüs: √(5² + 12²) = √169 = 13. Alan: (5 · 12) / 2 = 30 birimkare; yarı çevre: u = (5 + 12 + 13) / 2 = 15. A = r · u → 30 = r · 15 → r = 2. Kısa yolla kontrol: r = (5 + 12 − 13) / 2 = 2.

Sonuç: Yarıçap 2 birimdir.

Örnek 8: Heron Formülü ve Yükseklik

Kenarları 9, 10 ve 17 birim olan bir üçgenin alanı ve 9 birimlik kenara ait yüksekliği kaçtır?

Çözüm: Yarı çevre: u = (9 + 10 + 17) / 2 = 18. A = √(18 · (18 − 9) · (18 − 10) · (18 − 17)) = √(18 · 9 · 8 · 1) = √1296 = 36 birimkare. 9 birimlik kenara ait yükseklik: h = 2 · 36 / 9 = 8 birim.

Sonuç: Alan 36 birimkare, istenen yükseklik 8 birimdir.