Paralelkenar — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

1. Tanım ve Temel Özellikler

ABCD paralelkenarında [AB] ∥ [DC] ve [AD] ∥ [BC]'dir. Bu tanımdan şu özellikler çıkar:

• Karşılıklı kenarlar eşittir: |AB| = |DC| ve |AD| = |BC|. Çevre = 2 · (a + b).
• Karşılıklı açılar eşittir: m(A) = m(C) ve m(B) = m(D).
• Komşu açılar bütünlerdir: m(A) + m(B) = 180°. Bu, paralel doğrular arasındaki karşı durumlu açılardan gelir.
• Bir köşegen paralelkenarı iki eş üçgene ayırır (ABD ≅ CDB ve ABC ≅ CDA).

2. Köşegenler

• Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar: O kesim noktası ise |AO| = |OC| ve |BO| = |OD|.
• Köşegenler genel olarak eşit değildir ve dik değildir. Eşitse paralelkenar dikdörtgen, dikse eşkenar dörtgendir.
• Köşegenler birbirini ortaladığı için ABO ve BCO üçgenlerinde [BO] ortak, |AO| = |OC|'dir. Bu yüzden iki üçgenin çevreleri farkı yalnızca kenarların farkıdır: Ç(ABO) − Ç(BCO) = |AB| − |BC|.
• Kenarlar ile köşegenler arasında e² + f² = 2 · (a² + b²) bağıntısı vardır (e ve f köşegen uzunlukları).

3. Alan

Taban × yükseklik: Paralelkenarın alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımıdır (üçgendeki gibi 2'ye bölünmez):

A(ABCD) = a · h(a) = b · h(b)

Buradan a · h(a) = b · h(b) bulunur: kısa kenara ait yükseklik uzun, uzun kenara ait yükseklik kısadır.

İki kenar ve aradaki açı: Komşu kenarları a, b ve aralarındaki açı α ise yükseklik b · sin α olur:

A(ABCD) = a · b · sin α

Komşu açılar bütünler olduğu ve sin(180° − α) = sin α olduğu için hangi köşedeki açı kullanılırsa kullanılsın sonuç aynıdır. Sık kullanılan değerler: sin 30° = sin 150° = 1/2, sin 45° = sin 135° = √2/2, sin 60° = sin 120° = √3/2.

4. Köşegenlerin Ayırdığı Dört Üçgen

Köşegenler O noktasında kesişsin. AOB, BOC, COD ve DOA üçgenlerinin alanları eşittir; her biri paralelkenarın alanının dörtte biridir. Örneğin AOB ile BOC'de |AO| = |OC| tabanları eşit, B'den [AC]'ye inen yükseklik ise ortaktır.

Köşegen üzerindeki bir nokta: E noktası [AC] köşegeni üzerinde ise B ve D köşeleri [AC]'ye eşit uzaklıktadır. Bu yüzden A(ABE) = A(ADE) ve A(CBE) = A(CDE)'dir.

Kenar üzerindeki bir nokta: E noktası [DC] üzerinde ise ABE üçgeninin [AB] tabanına ait yüksekliği paralelkenarın yüksekliğine eşittir: A(ABE) = A(ABCD) / 2.

5. İçteki Bir Nokta

P, paralelkenarın içinde herhangi bir nokta olsun. PAB ve PCD üçgenlerinin tabanları eşittir (|AB| = |DC|) ve yüksekliklerinin toplamı paralelkenarın yüksekliğidir. Bu yüzden:

A(PAB) + A(PCD) = A(PBC) + A(PDA) = A(ABCD) / 2

Yani karşılıklı kenarlara dayanan üçgenlerin alanları toplamı, paralelkenarın alanının yarısıdır.

6. Açıortay ve İkizkenar Üçgen

A açısının açıortayı [DC] kenarını E noktasında kessin. [DC] ∥ [AB] olduğundan m(DEA) = m(EAB) (iç ters açılar); açıortay olduğu için de m(EAB) = m(DAE)'dir. Böylece ADE üçgeninde iki açı eşittir: ADE ikizkenardır ve |DE| = |AD|.

Bu kuraldan çıkan sonuçlar:

• |AB| > |AD| ise A'nın açıortayı [DC]'yi keser ve kalan parça kenarlar farkıdır: |EC| = |AB| − |AD|. (|AB| < |AD| ise açıortay [BC]'yi keser.)
• Komşu iki açının açıortayları dik kesişir, çünkü m(A)/2 + m(B)/2 = 90°'dir.
• Komşu iki açının açıortayları karşı kenar üzerinde aynı noktada kesişiyorsa o kenar iki eşit parçaya ayrılır ve |AB| = 2 · |AD| olur.
• Açıortay hangi kenarı keserse kessin, oluşan ikizkenar üçgende paralelkenarın açıortayın başladığı köşeden çıkan kenarı, kesilen kenarda o kenarla ortak köşeye bitişik parçaya eşittir (|AD| = |DE|).

7. Özel Paralelkenarlar: Dikdörtgen ve Kare

Dikdörtgen: Bütün açıları 90° olan paralelkenardır.

• Köşegenler eşittir ve birbirini ortalar; bu yüzden |OA| = |OB| = |OC| = |OD| olur ve köşegenlerin oluşturduğu dört üçgen ikizkenardır.
• Kenarları a ve b ise köşegen √(a² + b²), alan a · b'dir.
• Köşegenler arasındaki açı θ ise A(AOB) = (1/2) · |OA| · |OB| · sin θ ve dikdörtgenin alanı bunun dört katıdır.

Kare: Bütün kenarları eşit olan dikdörtgendir.

• Köşegenler eşit, birbirini dik ortalar ve köşe açılarını ikiye böler (45°).
• Kenarı a ise köşegen a√2, alan a²'dir; köşegeni e ise alan e² / 2'dir.

Önemli Formüller ve Kurallar

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Komşu Açılar

ABCD paralelkenarında m(DAB) = 3x + 15° ve m(ABC) = x + 25°'dir. Paralelkenarın açıları kaç derecedir?

Çözüm: Komşu açılar bütünlerdir: (3x + 15°) + (x + 25°) = 180° → 4x = 140° → x = 35°. m(A) = 3 · 35° + 15° = 120°, m(B) = 35° + 25° = 60°. Karşılıklı açılar eşit olduğundan m(C) = 120° ve m(D) = 60°'dir.

Sonuç: Açılar 120°, 60°, 120° ve 60°'dir.

Örnek 2: Köşegenlerin Ortalanması

ABCD paralelkenarında köşegenler O noktasında kesişmektedir. |AO| = x + 3, |OC| = 2x − 1 ve |BO| = x birimdir. |AC| ve |BD| kaç birimdir?

Çözüm: Köşegenler birbirini ortalar: x + 3 = 2x − 1 → x = 4.

|AO| = 7 olduğundan |AC| = 14 birim; |BO| = 4 olduğundan |BD| = 8 birimdir.

Sonuç: |AC| = 14 birim, |BD| = 8 birimdir.

Örnek 3: İki Yükseklik

ABCD paralelkenarında |AB| = 12 birim, |AD| = 9 birim ve D köşesinden [AB]'ye inen yükseklik 6 birimdir. B köşesinden [AD]'ye inen yükseklik kaç birimdir?

Çözüm: Alan: A(ABCD) = 12 · 6 = 72 birimkare. Aynı alan [AD] tabanıyla yazılırsa: 9 · h = 72 → h = 8.

Sonuç: İstenen yükseklik 8 birimdir.

Örnek 4: Geniş Açıyla Alan

ABCD paralelkenarında |AB| = 8 birim, |AD| = 5 birim ve m(ABC) = 150°'dir. Paralelkenarın alanı kaç birimkaredir?

Çözüm: Komşu açılar bütünler olduğundan m(DAB) = 30°'dir. (sin 150° = sin 30° olduğundan doğrudan 150° de kullanılabilir.) A(ABCD) = 8 · 5 · sin 30° = 8 · 5 · (1/2) = 20.

Sonuç: Alan 20 birimkaredir.

Örnek 5: Köşegenlerin Ayırdığı Üçgenler

ABCD paralelkenarının alanı 80 birimkaredir. Köşegenler O noktasında kesişmekte ve E noktası [AB]'nin orta noktasıdır. AOB ve AOE üçgenlerinin alanları kaçtır?

Çözüm: Köşegenler paralelkenarı alanları eşit dört üçgene ayırır: A(AOB) = 80 / 4 = 20. AOB üçgeninde [OE] kenarortaydır ve alanı ikiye böler: A(AOE) = 20 / 2 = 10.

Sonuç: A(AOB) = 20 birimkare, A(AOE) = 10 birimkaredir.

Örnek 6: İçteki Nokta

Alanı 50 birimkare olan ABCD paralelkenarının içindeki bir P noktası için A(PAB) = 9 ve A(PBC) = 14 birimkaredir. A(PCD) ve A(PDA) kaçtır?

Çözüm: Karşılıklı kenarlara dayanan üçgenlerin alanları toplamı 50 / 2 = 25'tir. A(PCD) = 25 − 9 = 16, A(PDA) = 25 − 14 = 11.

Sonuç: A(PCD) = 16 birimkare, A(PDA) = 11 birimkaredir.

Örnek 7: Açıortay ve Çevre

ABCD paralelkenarında B açısının açıortayı [AD] kenarını E noktasında kesmektedir. |AB| = 5 birim ve |BC| = 9 birimdir. |ED| ve paralelkenarın çevresi kaçtır?

Çözüm: [AD] ∥ [BC] olduğundan m(AEB) = m(EBC) = m(ABE); ABE ikizkenardır ve |AE| = |AB| = 5 birimdir.

|AD| = |BC| = 9 olduğundan |ED| = 9 − 5 = 4 birimdir.

Çevre = 2 · (5 + 9) = 28 birimdir.

Sonuç: |ED| = 4 birim, çevre 28 birimdir.

Örnek 8: Dikdörtgen ve Kare

Kenarları 6 ve 8 birim olan bir dikdörtgenin köşegeni, köşegenlerin kesim noktasının köşelere uzaklığı ve alanı kaçtır? Köşegeni 8 birim olan bir karenin alanı kaçtır?

Çözüm: Dikdörtgenin köşegeni: √(6² + 8²) = 10 birim. Köşegenler eşit ve birbirini ortaladığından kesim noktası her köşeye 5 birim uzaklıktadır. Alan: 6 · 8 = 48 birimkare. Karenin alanı: e² / 2 = 8² / 2 = 32 birimkare. (Kontrol: kenar 8 / √2 = 4√2 ve (4√2)² = 32.)

Sonuç: Köşegen 10 birim, uzaklık 5 birim, dikdörtgenin alanı 48 birimkare; karenin alanı 32 birimkaredir.