Yamuk — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Tanım ve Temel Kavramlar

ABCD yamuğunda [AB] ∥ [DC] olsun.

• Paralel kenarlara taban denir: |AB| = a (alt taban), |DC| = c (üst taban).
• Diğer iki kenar olan [AD] ve [BC]'ye yan kenar denir.
• Tabanlar arasındaki dik uzaklığa yükseklik denir ve h ile gösterilir. Yükseklik, üst tabanın herhangi bir noktasından alt tabana indirilen dikmenin uzunluğudur.

Her dörtgende olduğu gibi yamuğun iç açıları toplamı 360°'dir.

Yamukta Açılar

Tabanlar paralel olduğundan her yan kenar, iki paralel doğruyu kesen bir doğru gibi davranır. Aynı yan kenar üzerindeki iki açı karşı durumlu açılardır ve toplamları 180°'dir:

m(A) + m(D) = 180°        m(B) + m(C) = 180°

Bir köşegen ya da bir açıortay çizildiğinde, paralel tabanlar sayesinde iç ters açılar eşit olur. Örneğin [AC] köşegeni için m(DCA) = m(CAB)'dir. Açı sorularında önce bu eşit açıları işaretlemek çoğu zaman çözümü kendiliğinden ortaya çıkarır.

Özel Yamuklar

İkizkenar yamuk: Yan kenarları eşit olan yamuktur (|AD| = |BC|).

• Taban açıları eşittir: m(A) = m(B) ve m(D) = m(C).
• Köşegenleri eşittir: |AC| = |BD|.
• Tabanların orta noktalarından geçen doğru, simetri eksenidir.
• Üst köşelerden indirilen dikmeler, tabanların farkını iki eşit parçaya böler: her parça (a − c) / 2'dir.

Dik yamuk: Bir yan kenarı tabanlara dik olan yamuktur. m(A) = m(D) = 90° ise dik kenar [AD] aynı zamanda yüksekliktir: h = |AD|.

Yükseklik İndirerek Dik Üçgen Kurma

Yamuk sorularının çoğunda ilk adım, üst köşelerden (D ve C'den) alt tabana dikme indirmektir. Bu dikmeler yamuğu ortada |DC| uzunluğunda bir dikdörtgene ve iki yanda birer dik üçgene ayırır. Alt tabandaki iki açı da dar ise iki yandaki dik üçgenlerin tabanları toplamı a − c'dir (bir açı genişse dikmelerden biri tabanın uzantısına düşer ve farkları a − c olur).

• İkizkenar yamukta iki dik üçgen eştir; her birinin tabanı (a − c) / 2'dir.
• Dik yamukta yalnızca bir dik üçgen oluşur; tabanı a − c'dir.
• Yan kenarlar farklıysa yan üçgenlerin tabanlarına p ve (a − c) − p denir; ortak yükseklik iki üçgende Pisagor bağıntısıyla yazılıp eşitlenir.

Taban açısı 30°, 45° veya 60° ise yan üçgen özel bir dik üçgendir; yükseklik ve izdüşüm doğrudan bulunur.

Orta Taban

Yan kenarların orta noktalarını birleştiren [EF] doğru parçasına orta taban denir. Orta taban tabanlara paraleldir ve uzunluğu tabanların aritmetik ortalamasıdır:

|EF| = (a + c) / 2

Orta tabanın köşegenlerle kesişmesi: [EF], [AC] köşegenini K'de, [BD] köşegenini L'de kessin. ADC üçgeninde [EK] iki kenarın orta noktalarını birleştirdiğinden |EK| = c / 2, ABC üçgeninde de |KF| = a / 2'dir. Benzer şekilde |EL| = a / 2 ve |LF| = c / 2'dir. Buradan:

|KF| − |EK| = (a − c) / 2
|KL| = (a − c) / 2      (köşegenler arasında kalan parça)

Alan

Yamuğun alanı, tabanların ortalaması ile yüksekliğin çarpımıdır:

A(ABCD) = ((a + c) / 2) · h = |EF| · h

Bu formül, yamuğu bir köşegenle iki üçgene ayırıp alanları toplayarak elde edilir: (a · h) / 2 + (c · h) / 2.

Yan kenarın orta noktası: E, [BC]'nin orta noktası ise A(AED) yamuk alanının yarısıdır. Çünkü ABE ve ECD üçgenlerinin yükseklikleri h / 2'dir ve alanlarının toplamı ((a + c) · h) / 4 eder.

Köşegenleri dik ikizkenar yamuk: Köşegenler dik kesişirse köşegenlerle tabanların oluşturduğu üçgenler ikizkenar dik üçgen olur; kesim noktasının tabanlara uzaklıkları a / 2 ve c / 2'dir. Bu durumda h = (a + c) / 2 ve alan ((a + c) / 2)²'dir.

Köşegenlerin Ayırdığı Üçgenler

Köşegenler E noktasında kesişsin. Oluşan dört üçgenin alanları:

• S₁ = A(DEC) (üst üçgen), S₂ = A(AEB) (alt üçgen),
• S₃ = A(AED) ve S₄ = A(BEC) (yan üçgenler).

Bu alanlar için şu kurallar geçerlidir:

1. Yan üçgenlerin alanları eşittir: S₃ = S₄. (ABD ve ABC üçgenlerinin tabanı ve yüksekliği ortaktır; ortak AEB parçası çıkarılınca kalanlar eşittir.)
2. Çarpım kuralı: S₁ · S₂ = S₃ · S₄. Yan üçgenler eşit olduğundan S₃ = √(S₁ · S₂)'dir.
3. Benzerlik: DEC ve BEA üçgenleri benzerdir; benzerlik oranı c / a'dır. Bu yüzden |DE| / |EB| = |CE| / |EA| = c / a ve S₁ / S₂ = (c / a)²'dir.
4. Ortak yükseklikli üçgenlerin alanları tabanlarıyla orantılıdır: S₁ / S₄ = |DE| / |EB| = c / a.

Önemli Formüller ve Kurallar

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Orta Taban

ABCD yamuğunda [AB] ∥ [DC], |AB| = 18 birim ve |DC| = 10 birimdir. Yan kenarların orta noktalarını birleştiren orta taban kaç birimdir?

Çözüm: Orta taban tabanların aritmetik ortalamasıdır: (18 + 10) / 2 = 14.

Sonuç: Orta taban 14 birimdir.

Örnek 2: Orta Taban ve Köşegenler

ABCD yamuğunda [AB] ∥ [DC], |AB| = 20 birim ve |DC| = 8 birimdir. Orta taban [EF] (E ∈ [AD], F ∈ [BC]), [AC] köşegenini K'de, [BD] köşegenini L'de kesmektedir. |EK|, |KF| ve |KL| kaç birimdir?

Çözüm: ADC üçgeninde [EK] orta noktaları birleştirir: |EK| = 8 / 2 = 4. ABC üçgeninde |KF| = 20 / 2 = 10. Köşegenler arasındaki parça |KL| = (20 − 8) / 2 = 6'dır. Kontrol: |EF| = 4 + 6 + 4 = 14 = (20 + 8) / 2.

Sonuç: |EK| = 4, |KF| = 10 ve |KL| = 6 birimdir.

Örnek 3: İkizkenar Yamuğun Alanı

ABCD ikizkenar yamuğunda [AB] ∥ [DC], |AB| = 22 birim, |DC| = 10 birim ve |AD| = |BC| = 10 birimdir. Yamuğun alanı kaç birimkaredir?

Çözüm: D ve C'den inilen dikmeler, tabanların farkını iki eşit parçaya böler: (22 − 10) / 2 = 6. Yan dik üçgende h = √(10² − 6²) = √64 = 8. Alan = ((22 + 10) / 2) · 8 = 16 · 8 = 128.

Sonuç: Alan 128 birimkaredir.

Örnek 4: Dik Yamuk

ABCD dik yamuğunda [AB] ∥ [DC], m(A) = m(D) = 90°, |AB| = 15 birim, |DC| = 9 birim ve |AD| = 8 birimdir. |BC| kaç birimdir ve yamuğun alanı kaç birimkaredir?

Çözüm: C'den [AB]'ye inilen dikmenin ayağı H olsun. |CH| = |AD| = 8 ve |HB| = 15 − 9 = 6. CHB dik üçgeninde |BC| = √(8² + 6²) = 10. Alan = ((15 + 9) / 2) · 8 = 12 · 8 = 96.

Sonuç: |BC| = 10 birim, alan 96 birimkaredir.

Örnek 5: Köşegenlerin Ayırdığı Üçgenler

ABCD yamuğunda [AB] ∥ [DC] ve köşegenler E noktasında kesişmektedir. A(DEC) = 4 birimkare ve A(AEB) = 36 birimkaredir. Yamuğun alanı kaç birimkaredir? |DC| / |AB| oranı kaçtır?

Çözüm: Yan üçgenler eşittir ve S₃ · S₄ = S₁ · S₂ olduğundan S₃² = 4 · 36 = 144, S₃ = S₄ = 12. Alan = 4 + 36 + 12 + 12 = 64. DEC ile BEA benzerdir ve alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: 4 / 36 = (1/3)². Buradan |DC| / |AB| = 1/3.

Sonuç: Alan 64 birimkare, tabanlar oranı 1/3'tür.

Örnek 6: Yamukta Açılar

ABCD yamuğunda [AB] ∥ [DC], m(DAB) = 65° ve m(ABC) = 48°'dir. m(ADC) ve m(BCD) kaç derecedir?

Çözüm: Aynı yan kenar üzerindeki açılar bütünlerdir. m(ADC) = 180° − 65° = 115°, m(BCD) = 180° − 48° = 132°. Kontrol: 65° + 48° + 115° + 132° = 360°.

Sonuç: m(ADC) = 115°, m(BCD) = 132°'dir.

Örnek 7: 60° Açılı İkizkenar Yamuk

ABCD ikizkenar yamuğunda [AB] ∥ [DC], m(DAB) = 60°, |AD| = 6 birim ve |DC| = 5 birimdir. Yamuğun alanı kaç birimkaredir?

Çözüm: D'den inilen dikme 30°-60°-90° üçgeni oluşturur: izdüşüm 6 / 2 = 3, yükseklik h = 3√3. İkizkenar yamukta diğer yandaki izdüşüm de 3'tür: |AB| = 3 + 5 + 3 = 11. Alan = ((11 + 5) / 2) · 3√3 = 8 · 3√3 = 24√3.

Sonuç: Alan 24√3 birimkaredir.