Eşkenar Dörtgen ve Deltoit — ALES Konu Anlatımı

ALES Sayısal · Geometri · konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.

Konu Anlatımı

Eşkenar Dörtgen: Tanım ve Özellikler

Dört kenarı eşit olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. ABCD eşkenar dörtgeninde kenar uzunluğu a, köşegenler |AC| = e ve |BD| = f olsun; köşegenler O noktasında kesişsin.

• Eşkenar dörtgen bir paralelkenardır: karşılıklı kenarlar paraleldir, karşılıklı açılar eşittir, komşu açıların toplamı 180°'dir.
• Köşegenler birbirini dik ortalar: [AC] ⊥ [BD], |AO| = |OC| = e / 2 ve |BO| = |OD| = f / 2. Böylece şekil dört eş dik üçgene ayrılır.

• Her dik üçgende hipotenüs bir kenardır:

  a² = (e / 2)² + (f / 2)²
  

• Köşegenler açıortaydır: [AC], A ve C açılarını; [BD], B ve D açılarını iki eşit parçaya böler.

• Bir köşegen, eşkenar dörtgeni iki eş ikizkenar üçgene ayırır. Örneğin |BA| = |BC| olduğundan ABC üçgeni ikizkenardır ve m(BAC) = m(BCA)'dır.
• Eşkenar dörtgen her iki köşegenine göre simetriktir. [AC] üzerindeki bir E noktası için B ve D simetrik olduğundan |EB| = |ED| ve m(AEB) = m(AED)'dir.

Eşkenar Dörtgenin Alanı

Eşkenar dörtgenin alanı üç farklı yoldan hesaplanabilir; soruda hangi bilgi verilmişse o kullanılır.

1. Köşegenlerle: Alan = (e · f) / 2. (Dört dik üçgenin alanları toplamıdır.)
2. Taban ve yükseklikle: Alan = a · h. Burada h, bir kenara ait yüksekliktir; eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan taban × yükseklik kuralı geçerlidir.
3. Kenar ve açıyla: Alan = a² · sin α. α, eşkenar dörtgenin herhangi bir iç açısıdır; komşu açılar bütünler olduğundan sin α = sin (180° − α) ve sonuç değişmez.

Sık kullanılan değerler: sin 30° = sin 150° = 1/2, sin 45° = sin 135° = √2/2, sin 60° = sin 120° = √3/2.

İki yolu birlikte kullanmak, yüksekliği bulmanın en kısa yoludur: a · h = (e · f) / 2 ⇒ h = (e · f) / (2a).

60° ve 120° Açılı Eşkenar Dörtgen

Bir açısı 60° (komşu açısı 120°) olan eşkenar dörtgende kısa köşegen kenara eşittir: 60°'lik açıyı karşıdan gören köşegen, eşkenar dörtgeni iki eşkenar üçgene ayırır.

• Kısa köşegen = a
• Uzun köşegen = a√3 (eşkenar üçgenin yüksekliğinin iki katı)
• Alan = 2 · (a² · √3 / 4) = (a² · √3) / 2

Deltoit: Tanım ve Özellikler

İki komşu kenarı birbirine, diğer iki komşu kenarı da birbirine eşit olan dörtgene deltoit denir. ABCD deltoidinde |AB| = |AD| ve |CB| = |CD| olsun.

• Simetri ekseni: Eşit kenarların birleştiği A ve C köşelerinden geçen [AC] köşegeni simetri eksenidir.
• Köşegenler diktir: [AC] ⊥ [BD]. Simetri ekseni olan [AC], diğer köşegen [BD]'yi ortalar: |BO| = |OD|. [AC] ise genellikle ortalanmaz (|AO| ≠ |OC|).
• Açıortay: [AC], A ve C açılarının açıortayıdır.
• Eşit açılar: Simetri ekseninin dışında kalan iki açı eşittir: m(ABC) = m(ADC).
• [BD] köşegeni deltoidi iki ikizkenar üçgene ayırır: ABD (|AB| = |AD|) ve CBD (|CB| = |CD|). Taban açıları bu üçgenlerden hesaplanır.

Deltoidin Alanı ve Çevresi

Köşegenler dik olduğundan alan yine köşegenlerin çarpımının yarısıdır:

Alan = (|AC| · |BD|) / 2

Çevre = 2 · (|AB| + |BC|)'dir. Kenarlar genellikle köşegen parçalarından Pisagor bağıntısıyla bulunur: |AB|² = |AO|² + |BO|² ve |BC|² = |OC|² + |BO|².

Kare, Eşkenar Dörtgen ve Deltoit İlişkisi

• Dört kenarı eşit olan deltoit bir eşkenar dörtgendir; eşkenar dörtgen, deltoidin özel bir hâlidir.
• Açıları 90° olan eşkenar dörtgen karedir; kare hem eşkenar dörtgen hem deltoittir.
• Bu üç şeklin hepsinde köşegenler diktir; bu yüzden alan formülü (e · f) / 2 üçünde de geçerlidir. Karede e = f olduğundan alan (köşegen)² / 2'dir.
• Bir karenin köşegeni üzerinde, köşegenlerin kesim noktasına eşit uzaklıkta iki nokta seçilip karenin diğer iki köşesiyle birleştirilirse bir eşkenar dörtgen oluşur.

Önemli Formüller ve Kurallar

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Köşegenlerden Kenar, Alan ve Yükseklik

Köşegen uzunlukları 12 birim ve 16 birim olan bir eşkenar dörtgenin kenarı, çevresi, alanı ve bir kenarına ait yüksekliği kaçtır?

Çözüm: Köşegenler birbirini dik ortalar; yarım köşegenler 6 ve 8'dir. Kenar a = √(6² + 8²) = 10, çevre 4 · 10 = 40. Alan = (12 · 16) / 2 = 96. Alan = a · h olduğundan 96 = 10 · h ve h = 9,6.

Sonuç: Kenar 10 birim, çevre 40 birim, alan 96 birimkare, yükseklik 9,6 birimdir.

Örnek 2: 120° Açılı Eşkenar Dörtgen

Bir kenarı 6 birim ve bir açısı 120° olan eşkenar dörtgenin alanı ve köşegenleri kaçtır?

Çözüm: Alan = a² · sin 120° = 36 · (√3 / 2) = 18√3. Komşu açı 60°'dir; bu açıyı karşıdan gören kısa köşegen kenara eşittir: 6. Uzun köşegen 6√3'tür. Kontrol: (6 · 6√3) / 2 = 18√3.

Sonuç: Alan 18√3 birimkare, köşegenler 6 ve 6√3 birimdir.

Örnek 3: Eşkenar Dörtgende Açılar

ABCD eşkenar dörtgeninde m(ABC) = 50°'dir. m(BAC), m(ABD) ve m(BAD) kaç derecedir?

Çözüm:

|BA| = |BC| olduğundan ABC ikizkenardır: m(BAC) = (180° − 50°) / 2 = 65°.

[BD] açıortay olduğundan m(ABD) = 50° / 2 = 25°. Komşu açılar bütünlerdir: m(BAD) = 180° − 50° = 130° (ya da 2 · 65°).

Sonuç: m(BAC) = 65°, m(ABD) = 25°, m(BAD) = 130°'dir.

Örnek 4: Alandan Yükseklik

Alanı 48 birimkare, bir kenarı 8 birim olan eşkenar dörtgenin bir kenarına ait yüksekliği kaç birimdir?

Çözüm: Alan = a · h ⇒ 48 = 8 · h ⇒ h = 6.

Sonuç: Yükseklik 6 birimdir.

Örnek 5: Deltoidin Alanı ve Çevresi

ABCD deltoidinde |AB| = |AD|, |CB| = |CD| ve köşegenler O noktasında kesişmektedir. |AO| = 5 birim, |OC| = 9 birim ve |BD| = 24 birimdir. Deltoidin alanı ve çevresi kaçtır?

Çözüm: Simetri ekseni [AC], [BD]'yi dik ortalar: |BO| = 12. AOB dik üçgeninde |AB| = √(5² + 12²) = 13; COB dik üçgeninde |BC| = √(9² + 12²) = 15.

|AC| = 5 + 9 = 14, alan = (14 · 24) / 2 = 168.

Çevre = 2 · (13 + 15) = 56.

Sonuç: Alan 168 birimkare, çevre 56 birimdir.

Örnek 6: Deltoitte Açılar

ABCD deltoidinde |AB| = |AD|, |CB| = |CD|, m(BAD) = 100° ve m(BCD) = 40°'dir. m(ABC) kaç derecedir?

Çözüm: Deltoitte simetri ekseni dışındaki açılar eşittir: m(ABC) = m(ADC) = x. İç açılar toplamı: 100° + 40° + 2x = 360° ⇒ x = 110°.

Sonuç: m(ABC) = 110°'dir.

Örnek 7: Köşegeni Verilen Kare

Köşegen uzunluğu 10 birim olan bir karenin alanı kaç birimkaredir?

Çözüm: Karenin köşegenleri eşit ve diktir; alan = (e · f) / 2 = (10 · 10) / 2 = 50. Kontrol: kenar 10 / √2 = 5√2 ve (5√2)² = 50.

Sonuç: Alan 50 birimkaredir.